Rekursionsformel "rekursiv" < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass für das Integral [mm] \integral_{a}^{b}\bruch{dx}{(x^2+ \alpha x + \beta x)^n+1}, [/mm] folgende Rekursionsformel gilt: |
[mm] \integral_{a}^{b}\bruch{dx}{(x^2+ \alpha x + \beta x)^n+1} [/mm] = - [mm] \bruch{2x}{n(\alpha^2 - 4\beta)(x^2 + \alpha x + \beta)^n} [/mm] - [mm] \bruch{2(2n-1)}{n(\alpha^2-4\beta)}\integral\bruch{dx}{(x^2+\alpha x+\beta)^n}
[/mm]
Hallo alle zusammen  ,
Kurz zu mir: bin Informatikstudent mit NF Mathe und derzeit im 2. Semester.
Zur Aufgabe: meine Vermutung ist, dass ich hier mit partieller Integration arbeiten muss und "quasi", die Zwischenschritte zwischen "linker" und "rechter" Seite ergänzen muss, so dass gezeigt ist, dass die Gleichung gilt.
Nun habe ich die letzten zwei Stunden mit durch das Web surfen vebracht, vergeblich auf der Suche nach einer ähnlichen Aufgabe (scheinen mir alle simpler zu sein, als diese oder gar anders).
Es wäre schön, wenn Einer von euch mich in die richtige Richtung "stupsen" kann. Tipps, Tricks, etc. sehr willkommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 So 26.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
Bist du sicher, dass das "+1" nicht vielleicht doch in den Exponenten gehört?
Das Integral rechts sollte jedenfalls sicher auch ein bestimmtes sein und im ersten Summanden dürfte dann auch kein x mehr auftreten, dafür aber a und b.
Möglicherweise wäre es der bessere Ansatz, das ganze erst als unbestimmtes Integral zu behandeln, also links einfach die Integralgrenzen wegzulassen.
EDIT: Ich fürchte, da sind noch weitere Fehler in der angegebenen Formel!
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Stimmt. "+1" soll ebenfalls i.d. Exponent.
Jedoch stimmt der Rest der angebenen Formel.
Wieso sollten da denn noch mehr Fehler sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mo 27.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
>
> Jedoch stimmt der Rest der angebenen Formel.
Nein! Die Sache mit dem bestimmten/unbestimmten Integral und den rechts noch immer vorkommenden x im ersten Summanden ist definitiv auch noch falsch
>
> Wieso sollten da denn noch mehr Fehler sein?
Setze [mm] $\alpha=\beta=n=1$ [/mm] und prüfe nach. Eventuell numerisch indem du für a und b auch konkrete Werte einsetzt.
Hab meine Aufzeichnungen nicht mehr verfügbar und es ist durchaus möglich, dass ich mich da geirrt hatte, aber ich erhielt unterschiedliche Ergebnisse.
Gruß RMix
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Habe mal die Aufgabe als Anhang beigefügt.
Es stimmt alles, wie ich es eingegeben habe und mal soll ja die Rechnung irgenwie von hinte aufziehen, aber dass raffe ich auch nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie, dass für das Integral
> [mm]\integral_{a}^{b}\bruch{dx}{(x^2+ \alpha x + \beta x)^n+1},[/mm]
> folgende Rekursionsformel gilt:
> [mm]\integral_{a}^{b}\bruch{dx}{(x^2+ \alpha x + \beta x)^n+1}[/mm]
> = - [mm]\bruch{2x}{n(\alpha^2 - 4\beta)(x^2 + \alpha x + \beta)^n}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{2(2n-1)}{n(\alpha^2-4\beta)}\integral\bruch{dx}{(x^2+\alpha x+\beta)^n}[/mm]
>
> Hallo alle zusammen ,
>
> Kurz zu mir: bin Informatikstudent mit NF Mathe und derzeit
> im 2. Semester.
>
> Zur Aufgabe: meine Vermutung ist, dass ich hier mit
> partieller Integration arbeiten muss und "quasi", die
> Zwischenschritte zwischen "linker" und "rechter" Seite
> ergänzen muss, so dass gezeigt ist, dass die Gleichung
> gilt.
>
> Nun habe ich die letzten zwei Stunden mit durch das Web
> surfen vebracht, vergeblich auf der Suche nach einer
> ähnlichen Aufgabe (scheinen mir alle simpler zu sein, als
> diese oder gar anders).
>
> Es wäre schön, wenn Einer von euch mich in die richtige
> Richtung "stupsen" kann. Tipps, Tricks, etc. sehr
> willkommen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Formel lautet korrekt so:
(*) [mm]\integral_{}^{}\bruch{dx}{(x^2+ \alpha x + \beta )^{n+1}}[/mm] = - [mm]\bruch{2x+\alpha}{n(\alpha^2 - 4\beta)(x^2 + \alpha x + \beta)^n}[/mm] - [mm]\bruch{2(2n-1)}{n(\alpha^2-4\beta)}\integral\bruch{dx}{(x^2+\alpha x+\beta)^n}+C[/mm]
Für einen Beweis sehe ich 2 Möglichkeiten:
1. Der auwändige Beweis: Induktion ( mit part. Integration)
2. der fiese Beweis: differenziere in (*) die linke und die rechte Seite......
FRED
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Hallo Fred,
könntest du (o. jmd. anders, d. dazu i.d. Lage ist) kurz den Weg über Differentiation/part. Integration skizzieren?
Wir haben i.d. Übungen und Vorlesungen kaum etwas hierzu gemacht und ich wirke bei solchen Aufgaben sehr unvorbereitet, obwohl ich es mir nun [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] mal durchgelesen habe.
P.S. würde mich über eine schnelle Antwort freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 27.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Soweit ich es schnell beantworten kann und will:
Schau genau auf die Änderungen, die Fred vorgenommen hat. Es stehen nun die unbestimmten Integrale da. Das unbestimmte Integral ist eine Schreibweise für die Stammfunktion F(x). Was erhältst Du, wenn Du F(x) ableitest? Dann leite noch den Ausdruck ohne Integralzeichen ab. Falls Du nicht das unbestimmte Integral nehmen willst, kannst Du den Ausdruck auch richtig schreiben, indem Du den mittleren Term mit den Klammern [mm] $[\ldots ]_a^b$ [/mm] versiehst. Dann schau Dir den Hauptsatz der Integral- und Differntialrechnung an.
Für den Weg mit der Induktion würde ich mich erst einmal auf die partielle Integration stürzen. Da muss die Zerlegung der Ausdrücke in die Produkte uv' uv u'v gefunden werden. Leite den rechten Integranden ab, um Ideen zu bekommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 29.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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