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Rekursionsformeln: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:18 Di 08.01.2008
Autor: Namisan

Aufgabe
Finden Sie die Rekursionsformeln zur Berechnung der folgenden Integrale:

a) [mm] \integral_{a}^{b}{1/(1+x^{2})^{n} dx} [/mm]

b) [mm] \integral_{a}^{b}{1/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx} [/mm]

Hallo,

Prinzipiel habe ich verstanden wie das mit der Rekursionsformel funktioniert.
Erst mal brauche ich zwei start Werte [mm] I_{0} [/mm] und [mm] I_{1} [/mm] , und aus diesen beiden ergibt sich dann [mm] I_{2}. [/mm] D.h ein Wert ergibt sich immer aus den beiden vorherigen Werten.

So.

Nun kann ich sehen das das Integral aus a) für gearade n gilt und das Integral aus b) für ungerade Werte.

Wenn ich also [mm] I_{n} [/mm] bestimme , könnte ich daraus geschickt beide Rekusrionsformeln herleiten. Dies hat unser Prof gesagt.

Also:

[mm] I_{n}= \integral_{a}^{b}{(1+x^{2})/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx} [/mm]

Daraus kann ich machen :

[mm] I_{n}= I_{n}= \integral_{a}^{b}{1/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{x^{2}/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx} [/mm]

Wobei das ertse Integral dann mein [mm] I_{n+2} [/mm] ist und ich nur noch das zweite Integral berechnen muss, mittels Partieller Integration.

So und genau da fängts an zu hacken.

Wenn ich nun [mm] \integral_{a}^{b}{x^{2}/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx} [/mm] nehme ich für die Partielle Integration
u= [mm] 1/(\wurzel{1+x^{2}}^{n+2}) [/mm] nehme und für v´ = [mm] x^{2} [/mm]
dann kriege ich für v=1/3 [mm] *x^{3} [/mm] raus
und für u´= - [(n+2)*x/( [mm] \wurzel{1+x^{2}}^{n+2}*(1+x^{2}))] [/mm] mittels Maple

wenn ich das in die Formel für partielle Integration einsetze folgt.

1/3 [mm] *x^{3} [/mm] * [mm] 1/\wurzel{1+x^{2}}^{n+2}| [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{ - [(n+2)*x/( \wurzel{1+x^{2}}^{n+2}*(1+x^{2}))] * 1/3 *x^{3}dx} [/mm]

Tja . Und jetzt komme ich nicht weiter.

Kann mir jemand sagen ob das korrekt ist und wie ich weiter machen soll?

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Rekursionsformeln: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:44 Mi 09.01.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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