Rekursionsvorschrift beweisen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Es sei [mm] I_n [/mm] eine Folge mit [mm] 1/e*(\integral_{0}^{1}{(x^n*e^x) dx}
[/mm]
Zeige, dass die Folge der Rekursionsvorschrift
1) [mm] I_0=1-1/e, I_k=1-k*I_(k-1)
[/mm]
2) |
Hallo,
kann mir hier jemand einen Tipp geben, also wie ich daran gehe?
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Hallo!
> Es sei [mm]I_n[/mm] eine Folge mit [mm]1/e*(\integral_{0}^{1}{(x^n*e^x) dx}[/mm]
Du meinst:
[mm] $I_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{e}*\int_{0}^{1}x^{n}*e^{x}\ [/mm] dx$
> Zeige, dass die Folge der Rekursionsvorschrift
> 1) [mm]I_0=1-1/e, I_k=1-k*I_(k-1)[/mm]
> kann mir hier jemand einen Tipp geben, also wie ich daran
> gehe?
Zeige zunächst [mm] $I_{0} [/mm] = 1 - 1/e$.
(Das heißt: Setze oben für n = 0 ein und rechne das Integral aus).
Danach nimmst du dir den allgemeinen Fall [mm] I_{n} [/mm] vor, und versuchst mit partieller Integration, das Integral auf die gewünschte Form zu bringen:
[mm] $I_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{e}*\int_{0}^{1}\underbrace{x^{n}}_{u}*\underbrace{e^{x}}_{v'}\ [/mm] dx = ...$
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo, dankeschön für deine Antwort.
Wie es aussieht, wird es wohl auf einen Beweis mit vollst. Induktion heraus laufen, was?
I=0, ok
Dann habe ich das mal mit partielle Integr. ausgerechnet:
allg:
wenn ich da die Grenzen einsetzte, hat das die Form der Rekursionsvorschrift:
[mm] 1-k*I_k-1
[/mm]
I_(k-1) ist dann das Integral über e^(x-1)*x(k-1)
ich könnte jetzt ja für n=k-1 einsetzen, dann würde es ja fast passen, aber bei mir steht im Integral ja e^(x-1) und es heißt ja eigentl. [mm] e^x, [/mm] oder hab ich mich da verrechnet?
Mit Induktion müsste ich dann aber von k auf k+1 schließen, odèr?
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Hallo,
> Hallo, dankeschön für deine Antwort.
> Wie es aussieht, wird es wohl auf einen Beweis mit vollst.
> Induktion heraus laufen, was?
Nein. Du sollst doch nur die Rekursionsformel beweisen!
Indem du die Rekursionsformel für alle k beweist, ist die Aufgabe erfüllt.
Also:
Rechne mal deine partielle Integration für allgemeines k vor, wenn du dir da unsicher bist oder nicht zum Ziel kommst.
Wie du partiell zu integrieren hast, habe ich dir ja schon gezeigt.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 So 18.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Es hat bei mir jetzt auch geklappt.
Ich weiß aber nicht so genau, wie ich den Beweis führen soll.
1) ich zeige, dass die Vorschrift für [mm] I_0 [/mm] gilt
2) dann mittels part. Int., dass sie für [mm] I_k [/mm] gilt
Ist das der Beweis oder muss ich da noch was wg. vollst. Induktion machen?
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Hallo!
> Ich weiß aber nicht so genau, wie ich den Beweis führen
> soll.
> 1) ich zeige, dass die Vorschrift für [mm]I_0[/mm] gilt
> 2) dann mittels part. Int., dass sie für [mm]I_k[/mm] gilt
> Ist das der Beweis oder muss ich da noch was wg. vollst.
> Induktion machen?
Da steht:
"Beweisen Sie die Rekursionsformel".
Die Rekursionsformel ist angegeben mit dem 0-ten Glied [mm] I_{0} [/mm] und einer Formel, mit der man von [mm] I_{k-1} [/mm] auf [mm] I_{k} [/mm] kommt. Wenn du beides bewiesen hast, bist du fertig! Das ist keine Induktion nötig.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 So 18.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Ok, super. Dankeschön.
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