Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg. sei die durch [mm] x_0 [/mm] = 1 und [mm] x_{n+1}=e^{2-\bruch{1}{x_n}}
[/mm]
für [mm] n\ge [/mm] 0 definierte Folge.
a) Man zeige, dass die Folge konvergiert.
b) Man begründe, dass der Grenzwert a der Folge eine Lösung der Gleichung [mm] x=e^{2-\bruch{1}{x}} [/mm] ist. |
a) Konvergenz:
Hier ist zu zeigen, dass die Folge monoton ist und beschränkt.
Die Lösung lautet: n==: [mm] x_0=1 [/mm] (klar), und damit [mm] $1\ge x_0\ge e^2$ [/mm] (wieso [mm] e^2? [/mm] Ich komme hier auf [mm] e^1, [/mm] wenn ich das einsetze)
Induktionsschritt ist ebenfalls unklar: n -> n+1:
Ich will doch zeigen, dass [mm] $1\ge x_{n+1}\ge e^2$. [/mm] Wer kann mir hier einen Ansatz bzw. meinen Denkfehler sagen.
b) Grenzwert:
Ich mache hier wieder meinen Ansatz:
Grenzwert sei a: [mm] a=\lim{x_{n+1}}=e^{2-\bruch{1}{a}}. [/mm] Wie kann ich hier nach a auflösen? Das a im Bruch bereitet mir Probleme....
Vielen Dank vorab.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Di 29.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Geg. sei die durch [mm]x_0[/mm] = 1 und [mm]x_n+1= e^2-\bruch{1}{x_n}[/mm]
Das soll wohl [mm]x_{n+1}= e^2-\bruch{1}{x_n}[/mm] lauten
>
> für [mm]n\ge[/mm] 0 definierte Folge.
> a) Man zeige, dass die Folge konvergiert.
> b) Man begründe, dass der Grenzwert a der Folge eine
> Lösung der Gleichung [mm]x=e^2-\bruch{1}{x}[/mm] ist.
> a) Konvergenz:
> Hier ist zu zeigen, dass die Folge monoton ist und
> beschränkt.
>
> Die Lösung lautet: n==: [mm]x_0=1[/mm] (klar), und damit [mm]1\ge x_0\gee^2[/mm]
Es gibt eine Vorschaufunktion !!! Dem Quelltext enthehme ich:
[mm]1\ge x_0 \ge e^2[/mm]
Das ist aber falsch ! Vielleicht hast Du Dich verschrieben . Richtig ist:
[mm]1 \le x_0 \le e^2[/mm]
> (wieso [mm]e^2?[/mm] Ich komme hier auf [mm]e^1,[/mm] wenn ich das einsetze)
Das verstehe ich nicht.
[mm]1 \le x_0 \le e^2[/mm] ist jedenfalls richtig, [mm]1 \le x_0 \le e[/mm] auch, warten wirs ab
>
> Induktionsschritt ist ebenfalls unklar: n -> n+1:
> Ich will doch zeigen, dass [mm]1\ge x_n+1\gee^2.[/mm]
Es gibt eine Vorschaufunktion !!! Dem Quelltext enthehme ich:
[mm]1 \ge x_n+1 \ge e^2.[/mm]
Das ist wieder falsch, aber immerhin habe ich (besser als Sherlock Holmes, kennst Du den ?) herausgefunden worum es geht:
Induktiv soll gezeigt werden, dass
[mm]1 \le x_n \le e^2.[/mm]
gilt. Stimmts ?
> Wer kann mir
> hier einen Ansatz bzw. meinen Denkfehler sagen.
>
> b) Grenzwert:
> Ich mache hier wieder meinen Ansatz:
> Grenzwert sei a: a= lim [mm]x_n+1[/mm] = [mm]e^2-\bruch{1}{a}.[/mm] Wie kann
> ich hier nach a auflösen? Das a im Bruch bereitet mir
> Probleme....
Multipliziere mit a durch und Du bekommst eine quadratische Gl. für a
FRED
>
> Vielen Dank vorab.
>
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Leider habe ich bei der Eingabe massive Probleme...:-(
Ich werde die Aufgabe mal versuchen in Worten zu schreiben, viel. kann mir jemand helfen, diese korrekt einzugeben:
[mm] x_0=1 [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] = e hoch (2- [mm] \bruch{1}{x_n}).
[/mm]
Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Di 29.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Leider habe ich bei der Eingabe massive Probleme...:-(
> Ich werde die Aufgabe mal versuchen in Worten zu
> schreiben, viel. kann mir jemand helfen, diese korrekt
> einzugeben:
>
> [mm]x_0=1[/mm] und [mm]x_{n+1}[/mm] = e hoch (2- [mm]\bruch{1}{x_n}).[/mm]
So: $ [mm] x_{n+1}= e^{2-\bruch{1}{x_n}}$ [/mm] ??
oder so: $ [mm] x_{n+1}= e^2-\bruch{1}{x_n}$ [/mm]
FRED
>
> Dankeschön!
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Die erste Eingabe ist korrekt.
Danke für die Eingabe.
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Hallo Alexandra,
> Die erste Eingabe ist korrekt.
> Danke für die Eingabe.
Dann scheint es mir so, dass zu Beginn deiner Lösung die Beschränktheit der Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] gezeigt wird.
zu zeigen ist [mm] $\forall n\in\IN_0: 1\le x_n\le e^2$
[/mm]
Für den Induktionsanfang, also für $n=0$ passt das, denn
[mm] $x_0=1$ [/mm] und [mm] $1\le x_0\le e^2$
[/mm]
Den Induktionsschritt teile in 2 Schritte auf, indem du die beiden Ungleichungen separat zeigst
Induktionsvor.: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und gelte [mm] $1\le x_n\le e^2$
[/mm]
Bedenke, dass damit gilt: [mm] $-1\le-\frac{1}{x_n}\le -\frac{1}{e^2}<0$ [/mm] (wieso?)
Außerdem ist die e-Funktion streng monoton steigend!
Damit zeige zuerst: [mm] $1\le x_{n+1}$ [/mm] bzw. [mm] $x_{n+1}\ge [/mm] 1$
Es ist [mm] $x_{n+1}=e^{2-\frac{1}{x_n}}\ge e^{2-1}$
[/mm]
Das gilt nach Induktionsvor. und der Bem. danach
[mm] $=e\ge [/mm] 1$
Das ist die eine Ungleichung, bleibt zu zeigen: [mm] $x_{n+1}\le e^2$
[/mm]
Also [mm] $x_{n+1}=e^{2-\frac{1}{x_n}}\le e^{2-\frac{1}{e^2}}$ [/mm] nach Ind.vor.
$< [mm] e^2$ [/mm] da die e-Funktion streng monoton steigend ist
Bleibt aber noch die Monotonie zu zeigem, soweit ich das dem schwer zu entziffernden Geschreibsel aus deinem ersten post entnehmen kann
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 29.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo pippilangstrumpf!
> Die Lösung lautet: n==: [mm]x_0=1[/mm] (klar), und damit [mm]1\ge x_0\ge e^2[/mm]
Hier sind die Ungleichheitszeichen verkehrt herum.
> (wieso [mm]e^2?[/mm] Ich komme hier auf [mm]e^1,[/mm] wenn ich das einsetze)
Was setzt Du denn ein? Da alle [mm] $x_n$ [/mm] positiv sind, gilt auch:
[mm] $$e^{2-\bruch{1}{x_n}} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] e^{2-0} [/mm] \ = \ [mm] e^2$$
[/mm]
> Induktionsschritt ist ebenfalls unklar: n -> n+1:
> Ich will doch zeigen, dass [mm]1\ge x_{n+1}\ge e^2[/mm]. Wer kann
> mir hier einen Ansatz bzw. meinen Denkfehler sagen.
Auch hier sind die Ungleichheitszeichen verkehrt herum.
Gruß
Loddar
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> Hallo pippilangstrumpf!
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> > Die Lösung lautet: n==: [mm]x_0=1[/mm] (klar), und damit [mm]1\ge x_0\ge e^2[/mm]
>
> Hier sind die Ungleichheitszeichen verkehrt herum.
>
>
> > (wieso [mm]e^2?[/mm] Ich komme hier auf [mm]e^1,[/mm] wenn ich das einsetze)
>
> Was setzt Du denn ein? Da alle [mm]x_n[/mm] positiv sind, gilt
> auch:
> [mm]e^{2-\bruch{1}{x_n}} \ \le \ e^{2-0} \ = \ e^2[/mm]
Ich setze hier [mm] x_n [/mm] für n=0 ein und ich weiß, dass [mm] x_0=1 [/mm] ist. Somit habe ich in der Potenz stehen: 2- 1 (1 daher, weil ich ja den Bruch 1/1 habe).
Also hätte ich hier e ^{2-1} stehen.
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> > Induktionsschritt ist ebenfalls unklar: n -> n+1:
> > Ich will doch zeigen, dass [mm]1\ge x_{n+1}\ge e^2[/mm]. Wer
> kann
> > mir hier einen Ansatz bzw. meinen Denkfehler sagen.
>
> Auch hier sind die Ungleichheitszeichen verkehrt herum.
>
>
> Gruß
> Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Do 01.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo pippilangstrumpf!
Da hast Du falsch eingesetzt. Ich erhalte für $n \ = \ 0$ :
[mm] $$x_{\red{0}+1} [/mm] \ = \ [mm] x_1 [/mm] \ = \ [mm] e^{2-\bruch{1}{\red{x_0}}} [/mm] \ = \ [mm] e^{2-\bruch{1}{\red{1}}} [/mm] \ = \ [mm] e^{2-1} [/mm] \ = \ [mm] e^1 [/mm] \ = \ e$$
Gruß
Loddar
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