Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 03.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei c>0 und sei eine Folge in [mm] \IR [/mm] gegeben durch [mm] a_{1}=\wurzel{c} [/mm] und [mm] a_{n+1}=\wurzel{c+a_{n}}.
[/mm]
Man zeuge, dass die so definierte Folge konvergiert und berechne den Grenzwert. |
Hallo zusammen^^
Ich hab einige Schwieigkeiten mit dieser Aufgabe und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Zunächst einmal sieht die Folge so aus: [mm] a_{1}=\wuzel{c},
[/mm]
[mm] a_{2}=\wurzel{c+\wurzel{c}}, a_{3}=\wurzel{c+\wurzel{c+\wurzel{c}}},
[/mm]
[mm] a_{4}=\wurzel{c+\wurzel{c+\wurzel{c+\wurzel{c}}}} [/mm] und so gehts halt weiter.
Beziehungsweise es ist [mm] a_{n}=(a_{n+1})^{2}-c.
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen, dass die Folge gegen ein x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert,ich nehme mal an für c [mm] \to \infty. [/mm] Das heißt,es ist zu zeigen,dass
[mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN:d(x_{n},x)< \varepsilon \forall [/mm] n>N, [mm] \varepsilon [/mm] >0 bzw. dass [mm] x_{n} \in K(x,\varepsilon) \forall [/mm] n>N.
Da der Summand unter Wurzel immer größer wird in der Folge, könnte man schließen, dass sie gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert. Ich bin aber etwas ratlos, wie ich die Existenz eines solchen N's beweisen soll.
Ich hab mal ein paar Werte für c eingesetzt und die Folge untersucht.
Für c=1 ist [mm] a_{9}\approx1,61 [/mm] und für c=6 ist [mm] a_{9}\approx2.99. [/mm] Es scheint,dass die Folge für c=6 gegen 3 konvergiert, aber für c=10 hab ich für ein Folgenglied 10,56. Ich erkenne da keine Regelmäßigkeit.
Ich komme grad nicht mehr weiter. Hat jemand einen Tipp für mich,wie ich zeigen kann, dass die Folge konvergiert?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Di 03.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1, zeig ,dass sie monoton steigt: sehr leicht
2. zeig dass sie ne obere Schranke hat, da musst du ein bissel mit c experimentieren,dann induktion dann findest du eine. dann bist du fertig.
die obere Schranke ist (für mich) leichter zu finden, wenn ich es für c<1 und c>1 getrennt ansehe. du kannst aber den GW zuerst bestimmen und dann den, oder was größeres als obere Schranke nehmen.
aber probier wirklich mal rum, auch das will geübt sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 03.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,
danke für deine Hilfe. Ich hab jetzt mal ein wenig rumprobiert und bin zu folgendem gekommen.
> 1, zeig ,dass sie monoton steigt: sehr leicht
Ja,das hab ich gezeigt.
> 2. zeig dass sie ne obere Schranke hat, da musst du ein
> bissel mit c experimentieren,dann induktion dann findest
> du eine. dann bist du fertig.
> die obere Schranke ist (für mich) leichter zu finden,
> wenn ich es für c<1 und c>1 getrennt ansehe. du kannst
> aber den GW zuerst bestimmen und dann den, oder was
> größeres als obere Schranke nehmen.
> aber probier wirklich mal rum, auch das will geübt sein.
Ich hab jetzt konkret für c=10000 den Grenzwert [mm] a_{5}=100.50125 [/mm] gefunden. Und für c=1 Mio. liegt er bei [mm] a_{4}=1000.500125.
[/mm]
Aber ich muss ja einen allgemeinen Grenzwert finden für alle c.
Da ich nicht wirklich wusste,wie ich den allgemeinen Grenzwert berechnen soll,hab ich es so versucht:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Jetzt muss ich ein [mm] a_{N} [/mm] mit N [mm] \in \IN [/mm] finden, sodass [mm] \wurzel{c+a_{n}}<\varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Dann hab ich mir ein [mm] \varepsilon\* [/mm] gewählt, das kleiner ist als das andere [mm] \varepsilon [/mm] und natürlich größer als Null.Dann gilt schonmal
[mm] \wurzel{c+a_{N}}<\varepsilon\*. [/mm] Daraus folgt dann [mm] a_{N}<\bruch{(\varepsilon\*)^{2}}{c}.
[/mm]
Das Problem ist aber, dass dies immer noch nicht der Grenzwert ist.
Ich hab mal die Fallunterscheidung gemacht:
1. c<1: Dann ist [mm] a_{N}<\varepsilon\**c\* [/mm] mit [mm] c=\bruch{1}{c\*}
[/mm]
Und für c>1 bleibt es so wie oben.
Ich denke ich habe mich dem Grenzwert etwas angenähert, aber wie komme ich nun zu diesem? Ich wollte es zuerst mit vollständiger Induktion machen,wie du geraten hast. Aber für c=10000 liegt der Grenzwert bei [mm] a_{5} [/mm] und für c=1 Mio. bei [mm] a_{4}. [/mm] Deswegen geht das mit der Induktion auch nicht.
Ist denn in meinem Ansatz was brauchbares dabei und wie kann ich jetzt weitermachen?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Di 03.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
[mm]a_n\leq c[/mm]
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ausrechnen geht über Eindeutigkeit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Do 05.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> [mm]a_n\leq c[/mm]
> ---------------------------------
> ausrechnen geht über Eindeutigkeit
Wie kommst du darauf, dass [mm] a_{n} [/mm] kleiner gleich c ist?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Siehe mal hier; da wurde diese Folge ausführlichst behandelt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Do 05.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Loddar,
>
> Siehe mal hier; da wurde diese Folge
> ausführlichst behandelt.
>
>
vielen Dank.Ich habe mir das jetzt mal angeschaut. Also wenn ich das richtig verstanden habe, ist der Grenzwert [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{1}{4}+c}.
[/mm]
Und wie leduart gesagt hat, könnte ich das als obere Schranke nehmen, und schließen dass das auch der Grenzwert ist. Durch vollständige Induktion zeigt man dann eben, dass [mm] a_n \le \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{1}{4}+c}.
[/mm]
Aber ich verstehe nicht ganz, wie man auf diesen Grenzwert gekommen ist.Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Falls gezeigt ist, dass [mm] (a_n) [/mm] konv. , so folgt wegen
$ [mm] a_{n+1}=\wurzel{c+a_{n}} [/mm] $
für den Grenzwert a:
$ [mm] a=\wurzel{c+a}. [/mm] $
Quadrieren und nach a auflösen.
FRED
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