Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Man zeige: Die Folge [mm] \{a_n\} [/mm] mit [mm] a_1=\frac{1}{4}, a_{n+1}={a_n}^2+\frac{1}{4} [/mm] ist monoton wachsend und beschränkt. Man bestimme ihren Grenzwert. |
Monotonie: Zu zeigen ist: [mm] a_n
Induktionsanfang: Sei [mm] n=n_0=1. [/mm] Dann folgt: [mm] a_1=\frac{1}{4}<(\frac{1}{4})^2+\frac{1}{4}=a_2.
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: Sei [mm] a_n
Induktionsschluss: Für n+1 ergibt sich: [mm] a_{n+1}={a_n}^2+\frac{1}{4}<{a_{n+1}}^2+\frac{1}{4}=a_{n+2}
[/mm]
Beschränktheit: Zu zeigen ist: [mm] |a_n|<\frac{1}{2} [/mm] für alle n.
Induktionsanfang: Sei [mm] n=n_0=1. [/mm] Dann folgt: [mm] |a_1|=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}.
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: Sei [mm] |a_n|<\frac{1}{2} [/mm] für ein [mm] n\in\IN. [/mm] Dann folgt:
Induktionsschluss: Für n+1 ergibt sich: [mm] |a_{n+1}|={a_n}^2+\frac{1}{4}<(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
[/mm]
Hallo,
ist das wirklich so einfach? Ist da kein Haken dabei, den ich übersehen habe? Zwischen sehr viel schwierigeren Aufgaben hat mich diese etwas stutzig gemacht. Mit dem Grenzwert habe ich mich noch nicht beschäftigt, wäre nett wenn mir hierzu kurz jemand sagen könnte, ob das soweit stimmt. Vielleicht kommt beim Grenzwert ja noch der große Hammer.
Viele Grüße, Vielen Dank
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Hallo,
meiner Anicht nach hast du alles richtig gemacht. Und die Verwendung der IV ist eigentlich auch in beiden Fällen gut ersichtlich, so dass man das m.A. nach auch nicht weiter kommentieren braucht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Gut, Danke
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