Rekursiv definierte Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Sa 26.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe 1 | Seien $\ a $ und $\ b $ reelle Zahlen. Die Folge $\ (a_n)_{n \in \IN } $ sei wie folgt rekursiv definiert:
$\ a_0 := a, \ a_1 := b, \ a_n := \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n-2}) $ für $\ n \ge 2 $ |
| Aufgabe 2 | Sei $\ 0 < \alpha < 1 $. Die Folge $\ (a_n)_{n \in \IN) $ sei definiert durch:
$\ a_0 := \alpha, \ a_{n+1} := \frac{2a_{n} +1}{3}$ für $\ n \in \IN $ |
Hallo,
im Umgang mit Folgen, die wie in diesem Fall, rekursiv definiert sind, habe ich einige Schwierigkeiten.
Wie sind generell rekursiv definierten Folgen anzugehen? In den Lösungen taucht u.a. immer wieder die vollst. Induktion auf, doch ich verstehe nie, wie und warum davon gebrauch gemacht wird.
Würde mich freuen, wenn mir jemand Tipps geben kann. An den genauen Lösungen dieser Aufgaben bin ich garnicht so sehr interessiert, vielmehr bräuchte ich wie gesagt Tipps im Umgang mit solchen Aufgaben.
Freue mich jeden kleinen Hinweis oder Hilfe.
Grüße
ChopSuey
|
|
| |
|
> Seien [mm]\ a[/mm] und [mm]\ b[/mm] reelle Zahlen. Die Folge [mm]\ (a_n)_{n \in \IN }[/mm]
> sei wie folgt rekursiv definiert:
>
> [mm]\ a_0 := a, \ a_1 := b, \ a_n := \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n-2})[/mm]
> für [mm]\ n \ge 2[/mm]
> Sei [mm]\ 0 < \alpha < 1 [/mm]. Die Folge [mm]\ (a_n)_{n \in \IN)[/mm]
> sei definiert durch:
>
> [mm]\ a_0 := \alpha, \ a_{n+1} := \frac{2a_{n} +1}{3}[/mm] für [mm]\ n \in \IN[/mm]
>
> Hallo,
>
> im Umgang mit Folgen, die wie in diesem Fall, rekursiv
> definiert sind, habe ich einige Schwierigkeiten.
>
> Wie sind generell rekursiv definierten Folgen anzugehen? In
> den Lösungen taucht u.a. immer wieder die vollst.
> Induktion auf, doch ich verstehe nie, wie und warum davon
> gebrauch gemacht wird.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand Tipps geben kann. An
> den genauen Lösungen dieser Aufgaben bin ich garnicht so
> sehr interessiert, vielmehr bräuchte ich wie gesagt Tipps
> im Umgang mit solchen Aufgaben.
>
> Freue mich jeden kleinen Hinweis oder Hilfe.
> Grüße
> ChopSuey
Hallo ChopSuey,
genaue Lösungen kann man dir auch gar nicht angeben,
da du gar keine vollständigen Aufgaben angegeben hast,
sondern nur die rekursiven Definitionen für zwei Folgen.
Es lohnt sich bei so definierten Folgen wohl fast immer,
erst einmal einige Glieder zu berechnen, um zu sehen,
wie die Rekursion "funktioniert". Im ersten vorliegenden
Beispiel würde ich für einen konkreten Start z.B. a=2,
b=10 empfehlen, im zweiten [mm] \alpha=10 [/mm] . Um Vermutungen über
einen allfälligen Grenzwert zu finden, lohnt es sich viel-
leicht auch mittels Rechner oder Tabellenkalkulation
weiter zu rechnen.
Möglicherweise lassen sich an einem solchen Anfangs-
stück der Folge dann auch schon gewisse Anhaltspunkte
für die Form des generellen Bildungsgesetzes erkennen.
In den gängigen Aufgaben zum Thema stecken ja oft
bekannte Konzepte wie arithmetische und geometrische
Folgen etc. Faustregel: "Probieren und studieren" ...
Das Konzept der rekursiven Definition von Zahlenfolgen
ist natürlich sehr eng mit dem der vollständigen Induktion
verknüpft. Um deinen diesbezüglichen Problemen auf den
Grund zu gehen, stellst du am besten konkrete Fragen
dazu.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Sa 26.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Guten Morgen Al-Chwarizmi,
>
>
> Hallo ChopSuey,
>
> genaue Lösungen kann man dir auch gar nicht angeben,
> da du gar keine vollständigen Aufgaben angegeben hast,
> sondern nur die rekursiven Definitionen für zwei Folgen.
Ohje, stimmt natürlich. Entschuldige.
Es ging in beiden Fällen um den Nachweis von Konvergenz und der Grenzwert sollte explizit angegeben werden.
> Es lohnt sich bei so definierten Folgen wohl fast immer,
> erst einmal einige Glieder zu berechnen, um zu sehen,
> wie die Rekursion "funktioniert". Im ersten vorliegenden
> Beispiel würde ich für einen konkreten Start z.B. a=2,
> b=10 empfehlen, im zweiten [mm]\alpha=10[/mm] . Um Vermutungen
> über
> einen allfälligen Grenzwert zu finden, lohnt es sich
> viel-
> leicht auch mittels Rechner oder Tabellenkalkulation
> weiter zu rechnen.
> Möglicherweise lassen sich an einem solchen Anfangs-
> stück der Folge dann auch schon gewisse Anhaltspunkte
> für die Form des generellen Bildungsgesetzes erkennen.
> In den gängigen Aufgaben zum Thema stecken ja oft
> bekannte Konzepte wie arithmetische und geometrische
> Folgen etc. Faustregel: "Probieren und studieren" ...
> Das Konzept der rekursiven Definition von Zahlenfolgen
> ist natürlich sehr eng mit dem der vollständigen
> Induktion
> verknüpft. Um deinen diesbezüglichen Problemen auf den
> Grund zu gehen, stellst du am besten konkrete Fragen
> dazu.
Danke für die Hinweise schonmal. In Aufgabe 1 handelt es sich um folgendes:
In der Lösung zur Aufgabe steht:
Für alle natürlichen Zahlen $\ k [mm] \ge [/mm] 1 $ gilt
$\ [mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a_{k} [/mm] + [mm] a_{k-1}) [/mm] - [mm] a_k [/mm] = [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)(a_{k} [/mm] + [mm] a_{k-1}) [/mm] $
Daraus folgt durch vollst. Induktion nach $\ k $
$\ [mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_k [/mm] = [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^k(b-a) [/mm] $ für alle $\ k [mm] \in \IN [/mm] $
die Lösung geht dann noch ein wenig weiter. Aber die oberen Rechnungen kann ich noch nicht nachvollziehen.
Wieso wählt man $\ [mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_k$ [/mm] und stellt danach um ?
Und wie wird hier von der vollständigen Induktion tatsächlich gebrauch gemacht? Ich verstehe nicht, wie man von der ersten Rechnung zu
$\ [mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_k [/mm] = [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^k(b-a) [/mm] $ kommt.
Würde mich weiterhin sehr über Tipps freuen.
>
> LG Al-Chw.
>
Viele Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
> In Aufgabe 1 handelt es sich um folgendes:
>
> In der Lösung zur Aufgabe steht:
>
> Für alle natürlichen Zahlen [mm]\ k \ge 1[/mm] gilt
>
> [mm]\ a_{k+1} - a_k = \frac{1}{2}(a_{k} + a_{k-1}) - a_k = \left(-\frac{1}{2}\right)(a_{k} + a_{k-1})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Daraus folgt durch vollst. Induktion nach [mm]\ k[/mm]
>
> [mm]\ a_{k+1} - a_k = \left(-\frac{1}{2}\right)^k(b-a)[/mm] für
> alle [mm]\ k \in \IN[/mm]
>
> die Lösung geht dann noch ein wenig weiter. Aber die
> oberen Rechnungen kann ich noch nicht nachvollziehen.
>
> Wieso wählt man [mm]\ a_{k+1} - a_k[/mm] und stellt danach um ?
>
> Und wie wird hier von der vollständigen Induktion
> tatsächlich gebrauch gemacht? Ich verstehe nicht, wie man
> von der ersten Rechnung zu
> [mm]\ a_{k+1} - a_k = \left(-\frac{1}{2}\right)^k(b-a)[/mm] kommt.
>
> Würde mich weiterhin sehr über Tipps freuen.
> Viele Grüße
> ChopSuey
Hallo,
hast du dir eine Wertetafel für die ersten paar Glieder
aufgestellt ?
Darin kannst du doch feststellen, dass diese Folge
abwechselnd auf und ab tänzelt, in immer kleineren
Schritten. Die Schrittweite wird bei jedem Schritt
halbiert und eben ihr Vorzeichen gewechselt. Daraus
ergibt sich ganz natürlich die Gleichung
[mm] a_{k+1}-a_k=-\frac{1}{2}*(a_{k}-a_{k-1})
[/mm]
welche oben nicht richtig angegeben ist (Vorzeichenfehler !).
Wenn du damit nicht zurecht kamst, ist dies also absolut
in Ordnung ...
Wenn wir das konkrete Beispiel mit [mm] a=a_0=2 [/mm] und [mm] b=a_1=10 [/mm] nehmen,
haben wir die Folge
(2,10,6,8,7,7.5, ..... )
mit der Differenzenfolge (+8,-4,+2,-1,+0.5, ..... )
Nun kann man natürlich, um zu einem beliebigen Glied
der Folge zu kommen, vom Startwert [mm] a_0=a=2 [/mm] ausgehen
und dazu die abwechselnd positiven und negativen Schritt-
weiten addieren:
$\ [mm] a_n=\underbrace{2}_a+\underbrace{\overbrace{8}^{b-a}-4+2-\,......\,+\overbrace{8}^{b-a}*\left(-\,\frac{1}{2}\right)^{n-1}}_{n\ Summanden}$
[/mm]
Das ist von der Form
[mm] a_n [/mm] = Anfangsglied + endl. geom. Reihe
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mo 28.12.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für die ausführliche Hilfestellung. Jetzt erkenn ich das Ganze schon besser!
Viele Grüße
ChopSuey
|
|
|
|
