Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Do 02.02.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Gegeben ist die rekursive Folge $ [mm] (an)_{n\ge0} [/mm] $ definiert durch:
$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{2}(a_n+2) [/mm] n=0,1,2,... [mm] a_0=1
[/mm]
a) Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend ist.
b) Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm] a_n [/mm] < 2 für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt
c) Zeige, dass die Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert |
Hallo,
hier einmal mein Ansatz für Teil a)
IA: [mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_0+2) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] > [mm] a_0 [/mm] (Erfüllt)
IV: [mm] a_{n+1} \ge a_n [/mm] gilt für ein n [mm] \in \IN
[/mm]
IS: z.Z. [mm] a_{n+2} \ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n+1}+2) \ge \bruch{1}{2}(a_n+2) [/mm] = [mm] a_{n+1}
[/mm]
Stimmt das bis hier ?
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Nun bin ich mir aber unsicher, wie es genau weitergeht?
Bei einer "normalen" vollständigen Induktion habe ich keine Probleme; hier jedoch irritiert mich die Notation ein wenig.
Könnt ihr mir etwas auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Do 02.02.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du mit b) anfängst , und [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] in [mm] 1/2(a_n+2)>a_n 2-a_n/2>0 [/mm] ist es einfacher
sonst die vollständige Induktion auch über >0 machen
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 02.02.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo leduart,
vielen Dank für die Antwort!
Laut der Lösung soll die Aufgabe mit eben $ [mm] a_{n+2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}(a_{n+1}+2) \ge \bruch{1}{2}(a_n+2) [/mm] $ = [mm] a_{n+1} [/mm] abgeschlossen sein und das ist eben, was mich so stark irritiert.
Kann das denn so sein ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 02.02.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, da wir doch im letzen >= nur die vors [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] benutzt, ich hatte das übersehen.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:13 Fr 03.02.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart,
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> vielen Dank für die Antwort!
>
> Laut der Lösung soll die Aufgabe mit eben [mm]a_{n+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(a_{n+1}+2) \ge \bruch{1}{2}(a_n+2)[/mm] = [mm]a_{n+1}[/mm]
> abgeschlossen sein und das ist eben, was mich so stark
> irritiert.
Ich verstehe Deine Irritation überhaupt nicht.
Es ist doch alles bestens-
>
> Kann das denn so sein ?
>
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