Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Equinox |
| Aufgabe | [mm] a_{n+1}=\bruch{4a_{n}}{5a_{n}+2}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=(\bruch{a_{n}}{3a_{n}+1})^2 [/mm] |
Hallo habe eine Frage zu dieser Art von rekursiven Folgen, wenn man diese auf Beschränktheit untersucht ist es dann richtig das man vorher erst dafür sorgt das nur ein [mm] a_{n} [/mm] in dem Term vorkommt, also im Zähler ODER Nenner und nicht in beiden? Wenn ja wie kann man das hier machen hab schon versucht aber komme da nicht recht weiter. Als Bsp diese Aufgabe da ging es ganz gut:
[mm] a_{n+1}=\bruch{3a_{n}+1}{2a_{n}+1}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=1+(\bruch{a_{n}}{2a_{n}+1})
[/mm]
[mm] a_{n+1}=1+(\bruch{1}{2+\bruch{1}{a_{n}}})
[/mm]
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Equinox |
Für die erste komme ich auf
[mm] a_{n+1}=\bruch{4}{5}-\bruch{1}{5a_{n}+1}
[/mm]
kann das so richtig sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Equinox |
Stimmt hab mich da verrechnet, aber nochmal zu der grundsetzlichen Frage muss man ein Folgenglied im Nenner oder Zähler eleminieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Equinox!
Diese Frage lässt sich m.E. nicht pauschal beantworten. Und es ist wohl kein "muss", aber es kann helfen.
Wie unten schon geschrieben wurde, sollte man sich mit den ersten Gliedern überhaupt über Monotonie, Beschränktheit oder gar Konvergenz klar werden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> [mm]a_{n+1}=\bruch{4a_{n}}{5a_{n}+2}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=(\bruch{a_{n}}{3a_{n}+1})^2[/mm]
> Hallo habe eine Frage zu dieser Art von rekursiven Folgen,
> wenn man diese auf Beschränktheit untersucht ist es dann
> richtig das man vorher erst dafür sorgt das nur ein [mm]a_{n}[/mm]
> in dem Term vorkommt, also im Zähler ODER Nenner und nicht
> in beiden? Wenn ja wie kann man das hier machen hab schon
> versucht aber komme da nicht recht weiter. Als Bsp diese
> Aufgabe da ging es ganz gut:
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{3a_{n}+1}{2a_{n}+1}[/mm]
> [mm]a_{n+1}=1+(\bruch{a_{n}}{2a_{n}+1})[/mm]
> [mm]a_{n+1}=1+(\bruch{1}{2+\bruch{1}{a_{n}}})[/mm]
>
> Grüße
Hi Equinox,
möglicherweise ist deine Idee bei gewissen rekursiven
Folgen hilfreich, aber es gibt wohl kein allgemeines
Rezept für die Vorgehensweise bei einem solchen
Nachweis.
Oft hilft es, sich zuerst durch Berechnung einiger
Folgenglieder einen Überblick zu verschaffen und
dann etwa Vermutungen betr. Monotonie und
Schranken aufzustellen. Dann kann man versuchen,
diese zu bestätigen.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Equinox |
Ja berechne erst Monotonie dann schau ich mir den GW an und errechne damit die Beschränktheit, das passt auch alles, nur meinte mein Prof das ich aufpassen soll wenn im Nenner und Zähler ein Folgendglied steht, das müsste man dann eleminieren. Nur wie kann man das bei den beiden Folgen die ich gepostet habe machen finde da keinen Ansatz mehr?
|
|
|
| |
|
> Ja berechne erst Monotonie dann schau ich mir den GW an und
> errechne damit die Beschränktheit, das passt auch alles,
> nur meinte mein Prof das ich aufpassen soll wenn im Nenner
> und Zähler ein Folgendglied steht, das müsste man dann
> eleminieren. Nur wie kann man das bei den beiden Folgen die
> ich gepostet habe machen finde da keinen Ansatz mehr?
Na gut, wenn du das willst, kann dir schon geholfen werden:
$\ [mm] a_{n+1}=\bruch{4a_{n}}{5a_{n}+2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{4}{5+\frac{2}{a_n}}$
[/mm]
$\ [mm] a_{n+1}=(\bruch{a_{n}}{3a_{n}+1})^2$
[/mm]
Kürze hier auch einfach den Bruch mit [mm] a_n [/mm] !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Equinox |
Ok das war einfach, naja manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Equinox |
Hätte nochmal eine Frage zu der zweiten Folge ich kann doch nicht einfach in dem Bruch kürzen der unter dem Quadrat steht? Müsste man da nicht erst das Binom auflösen und dann kürzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Equinox!
Doch, Du kannst innerhalb der Klammern kürzen und erweitern.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Equinox |
Ok wusste ich es doch, ein Kollege meinte so ginge das nicht wollte mich nur nochmal versichern. Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Equinox!
Durch Kürzen und Erweitern wird der Wert dieses Bruches nicht verändert. Daher sind diese Umformungen auch zulässig.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wenn ich hier die 
Polynomdivision