Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 1
Sei a [mm] \in [/mm] R, a > 0 gegeben. Fur x0 > 0 sei die Folge (xn) durch
[mm] x_{n+1}= \bruch{1}{2}*(x_{n}+ \bruch{a}{n}); [/mm] n [mm] \in [/mm] N0
rekursiv de niert.
a:) Berechnen Sie fur x0 = 1 und a = 5 die Folgenglieder x1, x2, x3, x4. Vergleichen Sie das
Ergebnis mit p5.
b:) Zeigen Sie, dass die Folge (xn) fur jedes x0 > 0 gegen pa konvergiert. Hinweis: Zeigen Sie
zunachst, dass xn [mm] \ge \wurzel{a} [/mm] fur alle n [mm] \in [/mm] N ist und dass xn monoton
fallend ist. Berechnen Sie
den Grenzwert mit Hilfe der Rekursionsvorschrift. |
Ich habe Probleme mit b), meine Idee:
[mm] x_{n} \ge \wurzel{a} \Rightarrow x_{n}=t_{n}* \wurzel{a} [/mm] (Hatte ich als TIpp aufgeschnappt. Man soll über die Monotonie von tn argumentieren)
[mm] x_{n+1}=t_{n+1}* \wurzel{a}= \bruch{1}{2}*(t_{n}* \wurzel{a}+ \bruch{a}{t_{n}* \wurzel{a}})
[/mm]
[mm] \gdw t_{n+1}= \bruch{1}{2}*(t_{n}+ \bruch{1}{t_{n}})
[/mm]
sei x0=a [mm] \Rightarrow [/mm] x1= [mm] \bruch{a+1}{2}=t_{1} \wurzel{2} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] t1= [mm] \bruch{(a+1)* \wurzel{2}}{4}
[/mm]
dann rechne ich t2 aus:
t2= [mm] \bruch{1}{2}*(t_{1}+ \bruch{1}{t_{1}})
[/mm]
= [mm] \bruch{(a+1) \wurzel{2}}{2}> \bruch{(a+1)* \wurzel{2}}{4}
[/mm]
Und jetzt würde ich das ganze gerne auf [mm] t_{n+1+1} [/mm] übertragen, dass klappt aber irgendwie nicht. Ist die Idee überhaupt richitg, und stimmt das ganze bis hier?
Ich habe am Ende stehen:
[mm] t_{n+1+1}=\bruch{1}{2}*( \bruch{t_{n+1}^2 +1}{2t_{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{2at_{n+1}}{t_{n+1}^2 +1})
[/mm]
Das bekomme ich nicht in den Griff, ich denke, man müsste das jetzt vernünftig abschätzen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a)was ist pa oder p5?
b) du willst zeigen
1. [mm] x_n>\wurzel{a}
[/mm]
warum du dazu die [mm] t_n [/mm] einführst ist mir unklar, dann musst du zeigen [mm] t_n>1 [/mm] für alle n ab einem festen n.
wenn du weisst, dass das geometrische Mittel immer kleiner als das arithmetische ist bilde das ar.m von [mm] x_n [/mm] und [mm] a/x_n [/mm] und das geometrische
zeige dan mit Induktion, [mm] x_n+11 [/mm] das ist leicht.
geht aber genauso schnell für [mm] x_{n+1}-x_n
[/mm]
Gruss leduart
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Ich habe mich von den [mm] t_{n}s [/mm] verabschiedet, und versuche das anders. aber bislang ohne erfolg. Wenn ich das ar.m und das geo.m bestimme sehe ich immer noch nicht wirklich wie ich zu [mm] x_{n}> \wurzel{a} [/mm] kommen kann.
Ich benötige da wohl noch einen kleinen Hinweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh ich nicht. natürlich gilt das nur ab [mm] a_2, [/mm] da man ja [mm] a_1 [/mm] beliebig vorgeben kann.
was ist das geom. Mittel denn? und das arithm
Gruss leduart
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Das ar.m:
[mm] \bruch{1}{n}* \summe_{k=1}^{n} x_{k}
[/mm]
Das geom.m:
[mm] \wurzel{\produkt_{k=1}^{n}x_{k}}
[/mm]
Stimmt das so, oder liegt hier schon das Problem?
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Ich habe jetzt:
sei x0= [mm] \wurzel{a} [/mm] (das müsste man doch allg annehmen können, oder?)
n=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x1= [mm] \wurzel{a} \ge \wurzel{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{n+1}= \bruch{1}{2}*(x_{n}+ \bruch{a}{x_{n}})
[/mm]
Iv nutzen und einsetzen liefert:
[mm] \Rightarrow \wurzel{a} \ge \wurzel{a}
[/mm]
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, das darfst du sicher nicht annehmen. Man will ja eine Näherungsformel um [mm] \wurzel{a} [/mm] zu berechnen!Wenn du den GW in eine rekursive Folge einsetzt ist sie immer konstant .
das arithm. Mittel von [mm] x_n [/mm] und [mm] a/x_n [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(x_{n}+ \bruch{a}{x_{n}}), [/mm] das geom. solltest du dann auch rausfinden!
Gruss leduart
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Also nur für die zwei Zahlen [mm] x_{n} [/mm] und [mm] \bruch{a}{x_{n}}:
[/mm]
geom.m: [mm] \wurzel{x_{n}* \bruch{a}{x_{n}}}= \wurzel{a}
[/mm]
geo.m. [mm] \le [/mm] ari.m.:
[mm] \wurzel{a} \le \bruch{1}{2}*(x_{n}+ \bruch{a}{x_{n}})=x_{n+1}
[/mm]
[mm] \wurzel{a} \le x_{n+1}
[/mm]
Reicht das so?
Und die Monotonie soll ich jetzt über vollst. Ind. zeigen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 30.11.2010 | | Autor: | sqrt25 |
Ich hätte zwei Fragen dazu:
1.Was ist, wenn [mm] x_n\not\in \IR? [/mm] In der Aufgabenstellung ist doch schließlich nur gesagt, dass [mm] x_0>0 [/mm] sein soll.
2.
Ich kann doch
[mm]\wurzel{a} \le \bruch{1}{2}*(x_{n}+ \bruch{a}{x_{n}})=x_{n+1}[/mm]
auch beweisen, indem ich die Ungleichung durch Umformen zu einer wahren Aussage führe, oder nicht? Darf ich also im Beweis die Annahme machen, dass die Folge nach unten durch [mm] \wurzel{a} [/mm] beschränkt ist [mm] (x_{n+1}>\Wuzel{a}) [/mm] und diese Aussage so weit umformen, bis klar wird, dass sie wahr ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
worin soll denn [mm] x_n [/mm] liegen?
du hast ne Folge reeller Zahlen. sobald du [mm] x_0 [/mm] bzw [mm] x_1 [/mm] reell vorgibst.
daß das nicht extra erwähnt wird ist nur unwesentlich.
Wenn jeder deiner Schritte umkehrbar ist ist womit du anfaängst egal, aber am einfachsten ist [mm] x_{n+1}-x_n<0 [/mm] zu zeigen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 30.11.2010 | | Autor: | sqrt25 |
> worin soll denn [mm]x_n[/mm] liegen?
> du hast ne Folge reeller Zahlen. sobald du [mm]x_0[/mm] bzw [mm]x_1[/mm]
> reell vorgibst.
> daß das nicht extra erwähnt wird ist nur unwesentlich.
Moment, da steht ja [mm] x_0>0. [/mm] Über dem Körper der komplexen Zahlen ist keine Ordnungsrelation definiert, richtig? Daher kann [mm] x_0 [/mm] auch nicht komplex sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Di 30.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sqrt25!
Richtig erkannt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 30.11.2010 | | Autor: | sqrt25 |
ist hiermit nicht nur [mm]\wurzel{a} \le x_{n+1}[/mm] gezeigt? Daraus kann ich doch nicht i.A. [mm]\wurzel{a} \le x_n[/mm] folgern, wenn ich noch nicht weiß, dass die Folge monoton fallend ist. Will ich aber [mm] x_{n+1}\le x_n [/mm] zeigen, muss ich [mm] \wurzel{a} \le x_n [/mm] verwenden. Das ist ein Teufelskreislauf.
...also ich meine
[mm] x_{n+1}\le x_n [/mm]
<=> [mm] 1/2(x_n+a/x_n)\le x_n
[/mm]
<=> [mm] x_n+a/x_n \le 2x_n
[/mm]
<=> a [mm] \le x_n^2
[/mm]
<=> [mm] \wurzel{a} \le x_n
[/mm]
Die letzte Ungleichung stimmt aber nur, wenn tatsächlich [mm] \wurzel{a} \le x_n [/mm] gilt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch gezeigt, dass ausser [mm] x_0 [/mm] alle [mm] x_n>\wurzel{a} [/mm] sind.
statt n+1 kannst du ja auch n einsetzen. dann gilt es für n=1 und alle anderen.
Gruss leduart
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