Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ich soll die Folge auf Konvergenz untersuchen und dann ggf. den Grenzwert bestimmen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier ist die Folge:
[mm] x_{1}:=2, x_{n+1}:= \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}
[/mm]
Mein Vorgehensweise ist, dass ich mir 3 - 4 Folgen angucke dann daraus einen allgemeinen Ausdruck finde. Denn durch Induktion beweise und anschließend den Grenzwert bestimme. Durch die Folgen sehe ich, dass der Grenzwert gegen 1 konvergiert. Er ist nach unten beschränkt beginnend bei 2.
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \frac{2}{1}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \frac{5}{4}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \frac{41}{40}
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \frac{3281}{3280}
[/mm]
[mm] x_{5} [/mm] = [mm] \frac{21523361}{21523360}
[/mm]
Ich erkenne das schon mal das Muster [mm] x_{n} [/mm] = ... [mm] \frac{n+1}{n}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht genau wie ich weiter kommen soll!
|
|
| |
|
> Ich soll die Folge auf Konvergenz untersuchen und dann ggf.
> den Grenzwert bestimmen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hier ist die Folge:
>
> [mm]x_{1}:=2, x_{n+1}:= \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}[/mm]
>
> Mein Vorgehensweise ist, dass ich mir 3 - 4 Folgen angucke
> dann daraus einen allgemeinen Ausdruck finde. Denn durch
> Induktion beweise und anschließend den Grenzwert bestimme.
> Durch die Folgen sehe ich, dass der Grenzwert gegen 1
> konvergiert. Er ist nach unten beschränkt beginnend bei
> 2.
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\frac{2}{1}[/mm]
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\frac{5}{4}[/mm]
>
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\frac{41}{40}[/mm]
>
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]\frac{3281}{3280}[/mm]
>
> [mm]x_{5}[/mm] = [mm]\frac{21523361}{21523360}[/mm]
>
> Ich erkenne das schon mal das Muster [mm]x_{n}[/mm] = ...
> [mm]\frac{n+1}{n}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht genau wie ich weiter kommen soll!
Mit einem allgemeinen geschlossenen Ausdruck für [mm] x_n [/mm] klappt das hier nicht.
Die Konvergenz weist du nach, indem du zeigst, dass die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist:
Es ist aus der rekursionsformel nicht allzu schwer zu sehen, dass [mm] x_{n+1}-1\ge [/mm] 0 gelten muss und damit [mm] $x_n\ge [/mm] 1$ für alle $n$.
Daraus folgt dann [mm] $x_n-x_{n+1}=x_n- \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}=...\ge [/mm] 0$.
Aus Monotonie und Beschränktheit folgt, dass [mm] \hat{x}=\lim x_n [/mm] existieren muss. Die rekrsionsformel liefert dir dann eine Gleichung für [mm] \hat{x}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
> > Ich soll die Folge auf Konvergenz untersuchen und dann ggf.
> > den Grenzwert bestimmen.
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Hier ist die Folge:
> >
> > [mm]x_{1}:=2, x_{n+1}:= \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}[/mm]
> >
> > Mein Vorgehensweise ist, dass ich mir 3 - 4 Folgen angucke
> > dann daraus einen allgemeinen Ausdruck finde. Denn durch
> > Induktion beweise und anschließend den Grenzwert bestimme.
> > Durch die Folgen sehe ich, dass der Grenzwert gegen 1
> > konvergiert. Er ist nach unten beschränkt beginnend bei
> > 2.
> > [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\frac{2}{1}[/mm]
> >
> > [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\frac{5}{4}[/mm]
> >
> > [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\frac{41}{40}[/mm]
> >
> > [mm]x_{4}[/mm] = [mm]\frac{3281}{3280}[/mm]
> >
> > [mm]x_{5}[/mm] = [mm]\frac{21523361}{21523360}[/mm]
> >
> > Ich erkenne das schon mal das Muster [mm]x_{n}[/mm] = ...
> > [mm]\frac{n+1}{n}[/mm]
> >
> > Jetzt weiß ich nicht genau wie ich weiter kommen soll!
> Mit einem allgemeinen geschlossenen Ausdruck für [mm]x_n[/mm]
> klappt das hier nicht.
> Die Konvergenz weist du nach, indem du zeigst, dass die
> Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist:
> Es ist aus der rekursionsformel nicht allzu schwer zu
> sehen, dass [mm]x_{n+1}-1\ge[/mm] 0 gelten muss und damit [mm]x_n\ge 1[/mm]
> für alle [mm]n[/mm].
> Daraus folgt dann [mm]x_n-x_{n+1}=x_n- \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}=...\ge 0[/mm].
>
> Aus Monotonie und Beschränktheit folgt, dass [mm][mm] \hat{x}=\lim [/mm]
> existieren muss. Die rekrsionsformel liefert dir dann eine
> Gleichung für [mm]\hat{x}.[/mm]
>
Hi danke für die Antwort, für Monotonie muss ich ja zeigen, dass [mm] x_{n+1}
verstehe ich den folgenden Ausdruck richtig: [mm]x_{n+1}-1\ge[/mm] 0 ist die Definition von Konvergenz. Die 1 ist ja aus der Folge: [mm] a_{1...5 } [/mm] ersichtlich und [mm] x_{n+1} [/mm] ist ja größer 1. Demzufolge: [mm] x_{n+1}-1 [/mm] > 0 Garaus folgt dann das [mm] x_{n+1} [/mm] >1 und [mm] x_{n}>x_{n+1}>1. [/mm] Hab ich damit gezeigt, das alle folgenden Glieder größer 1 sind? Was fehlt mir noch um zu zeigen, dass die Folge monoton fallend ist und bei 1 nach unten beschränkt?
|
|
|
| |
|
> > > Ich soll die Folge auf Konvergenz untersuchen und dann ggf.
> > > den Grenzwert bestimmen.
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
> > > Hier ist die Folge:
> > >
> > > [mm]x_{1}:=2, x_{n+1}:= \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}[/mm]
> > >
> > > Mein Vorgehensweise ist, dass ich mir 3 - 4 Folgen angucke
> > > dann daraus einen allgemeinen Ausdruck finde. Denn durch
> > > Induktion beweise und anschließend den Grenzwert bestimme.
> > > Durch die Folgen sehe ich, dass der Grenzwert gegen 1
> > > konvergiert. Er ist nach unten beschränkt beginnend bei
> > > 2.
> > > [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\frac{2}{1}[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\frac{5}{4}[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\frac{41}{40}[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{4}[/mm] = [mm]\frac{3281}{3280}[/mm]
> > >
> > > [mm]x_{5}[/mm] = [mm]\frac{21523361}{21523360}[/mm]
> > >
> > > Ich erkenne das schon mal das Muster [mm]x_{n}[/mm] = ...
> > > [mm]\frac{n+1}{n}[/mm]
> > >
> > > Jetzt weiß ich nicht genau wie ich weiter kommen soll!
> > Mit einem allgemeinen geschlossenen Ausdruck für [mm]x_n[/mm]
> > klappt das hier nicht.
> > Die Konvergenz weist du nach, indem du zeigst, dass die
> > Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist:
> > Es ist aus der rekursionsformel nicht allzu schwer zu
> > sehen, dass [mm]x_{n+1}-1\ge[/mm] 0 gelten muss und damit [mm]x_n\ge 1[/mm]
> > für alle [mm]n[/mm].
> > Daraus folgt dann [mm]x_n-x_{n+1}=x_n- \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}=...\ge 0[/mm].
>
> >
> > Aus Monotonie und Beschränktheit folgt, dass [mm][mm]\hat{x}=\lim[/mm]
> existieren muss. Die rekrsionsformel liefert dir dann eine
> Gleichung für [mm]\hat{x}.[/mm]
>
> Hi danke für die Antwort, für Monotonie muss ich ja zeigen, dass [mm]x_{n+1}
> verstehe ich den folgenden Ausdruck richtig: [mm]x_{n+1}-1\ge[/mm] 0 ist die Definition von Konvergenz.
"Definition von Konvergenz"??
[mm] x_n\ge [/mm] 1 heißt insbesondere, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Du zeigts das durch
[mm] $x_{n+1}-1=\frac{(x_n-1)^2}{2x_n}\ge 0\Rightarrow x_{n+1}\ge [/mm] 1$
> Die 1 ist ja aus der Folge: [mm]a_{1...5 }[/mm] ersichtlich und [mm]x_{n+1}[/mm] ist ja größer 1. Demzufolge:
> [mm]x_{n+1}-1[/mm] > 0 Garaus folgt dann das [mm]x_{n+1}[/mm] >1 und [mm]x_{n}>x_{n+1}>1.[/mm] Hab ich damit
> gezeigt, das alle folgenden Glieder größer 1 sind?
siehe oben, bisher hast du das noch nicht gezeigt
> Was fehlt mir noch um zu zeigen, dass die Folge monoton fallend ist und bei > 1 nach unten beschränkt?
Um [mm] x_{n+1}\le x_n [/mm] zu zeigen, benutzt du wieder die Rekursionsformel:
[mm] $x_n-x_{n+1}=\frac{2x_n^2}{2x_n}- \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}=...\ge [/mm] 0$
|
|
|
| |
|
Ich verstehe nicht wie man auf diesen Ausdruck kommt: [mm] x_{n+1} [/mm] -1 [mm] \geq [/mm] 0
Mit der Definition von Konvergenz meinte ich: [mm] |x_{n}-a|< \epsilon
[/mm]
Also muss ich als erstes zeigen, das die Folge beschränkt ist:
Ich benutze diese Aussage: [mm] x_{n+1} -1\geq [/mm] 0, bei der ich nicht genau weiß wie man auf sie kommt.
Somit ergibt sich:$ [mm] x_{n+1}-1= \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}-\frac{2x_{n}}{2x_{n}} \geq [/mm] 0
Man sieht oben die zweite binomische Formel also:
[mm] \frac{(x_n-1)^2}{2x_n}\ge [/mm] 0
Nach auflösen bekommt man die Ungleichung: [mm] x_{n+1} \geq [/mm] 1
Nun hab ich gezeigt, das alle Folgeglieder nach unten bei 1 beschränkt sind.
Für Monotonie setzte ich vorraus, dass: [mm] x_{n+1 }
Jetzt brauche einen Ausdruck für x damit ich den Grenzwert bestimmen kann. Du sagst, dass die Rekursionsformel mir eine Gleichung für x liefern soll aber irgendwie sehe ich das nicht!
|
|
|
| |
|
> Ich verstehe nicht wie man auf diesen Ausdruck kommt:
> [mm]x_{n+1}[/mm] -1 [mm]\geq[/mm] 0
> Mit der Definition von Konvergenz meinte ich: [mm]|x_{n}-a|< \epsilon[/mm]
OK, aber hier arbeitest du ja gerade nicht mit der Definition der Konvergenz, sondern benutzt den Satz, dass eine Folge konvergent ist, wenn sie monoton und beschränkt ist.
>
> Also muss ich als erstes zeigen, das die Folge beschränkt
> ist:
> Ich benutze diese Aussage: [mm]x_{n+1} -1\geq[/mm] 0, bei der ich
> nicht genau weiß wie man auf sie kommt.
Darauf kommt man, indem man probeweise ein paar Folgenglieder ausrechnet. Das ist das typische Vorgehen: Man schaut erst, welche Eigenschaften die Folge haben könnte und überlegt sich danach, wie man das beweisen kann.
> Somit ergibt sich:$ [mm]x_{n+1}-1= \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}-\frac{2x_{n}}{2x_{n}} \geq[/mm]
> 0
> Man sieht oben die zweite binomische Formel also:
> [mm]\frac{(x_n-1)^2}{2x_n}\ge[/mm] 0
> Nach auflösen bekommt man die Ungleichung: [mm]x_{n+1} \geq[/mm]
> 1
> Nun hab ich gezeigt, das alle Folgeglieder nach unten bei
> 1 beschränkt sind.
korrekt, bessere Formulierung "durch 1 beschränkt"
>
> Für Monotonie setzte ich vorraus, dass: [mm]x_{n+1 }
Das setzt du nicht voraus, sondern das ist die Aussage, die zu zeigen ist.
> oder [mm]x_{n}-x_{n+1} \geq[/mm] 0 : [mm]\frac{2x_n^2}{2x_n}- \frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}} \geq[/mm]
> 0 Wenn ich es umstelle erhalte ich [mm]x_{n} \geq[/mm] 1.
Damit zeigst du [mm] x_n\ge 1\Rightarrow x_{n}-x_{n+1}\ge [/mm] 0
Da die linke Aussage ja schon vorher gezeigt war, folgt jetzt die Monotonie.
> Damit
> sollte ich aber jetzt gezeigt haben, dass es sich um min.
> einfache Monotonie handeln muss.
>
> Jetzt brauche einen Ausdruck für x damit ich den Grenzwert
> bestimmen kann. Du sagst, dass die Rekursionsformel mir
> eine Gleichung für x liefern soll aber irgendwie sehe ich
> das nicht!
Du weißt also jetzt, dass die Folge gegen einen (noch unbekannten) Grenzwert [mm] x_0 [/mm] konvergiert.
Du bekommst eine Gleichung für [mm] x_0, [/mm] indem du ausnutzt, dass dann auch [mm] \lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x_0 [/mm] gelten muss.
|
|
|
| |
|
Ehm, was ich verstehe ist, dass der Grenzwert für [mm] x_{0} [/mm] als auch für [mm] x_{n+1} [/mm] gelten muss.
> >Du weißt also jetzt, dass die Folge gegen einen (noch unbekannten) Grenzwert $ [mm] x_0 [/mm] $ konvergiert.
Haben wir nicht den uns noch unbekannten Grenzwert dafür verwendet um zu zeigen, dass [mm] x_{n+1} -1\geq [/mm] 0 ist?
Ich habe, das jetzt so verstanden, dass wir annehmen die Folge konvergiert gegen 1. Also durch "scharfes Hinsehen" sozusagen.
Somit kam ich auf diese Schlussfolgerung für den Beweis der Beschränktheit:
> > [mm]x_{n+1}[/mm] -1 [mm]\geq[/mm] 0
|
|
|
| |
|
Hallo schroedingerKatze,
> Ehm, was ich verstehe ist, dass der Grenzwert für [mm]x_{0}[/mm]
> als auch für [mm]x_{n+1}[/mm] gelten muss.
>
> > >Du weißt also jetzt, dass die Folge gegen einen (noch
> unbekannten) Grenzwert [mm]x_0[/mm] konvergiert.
>
> Haben wir nicht den uns noch unbekannten Grenzwert dafür
> verwendet um zu zeigen, dass [mm]x_{n+1} -1\geq[/mm] 0 ist?
Macht doch nichts. Manche Annahmen sind so gut, dass man sie auch mehrmals verwenden kann. 
> Ich habe, das jetzt so verstanden, dass wir annehmen die
> Folge konvergiert gegen 1. Also durch "scharfes Hinsehen"
> sozusagen.
Nein, das kann man genau bestimmen, wenn man annimmt, dass ein Grenzwert [mm] \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x_0 [/mm] existiert, denn es folgt dann aus
[mm] x_{n+1}=\bruch{x_n+1}{2x_n^2}=\bruch{1}{2}\left(x_n+\bruch{1}{x_n}\right)
[/mm]
doch, dass
[mm] \lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\bruch{1}{2}\left(\lim_{n\to\infty}x_n+\bruch{1}{\lim_{n\to\infty}x_n}\right)
[/mm]
und damit auch: [mm] x_0=\bruch{1}{2}\left(x_0+\bruch{1}{x_0}\right)
[/mm]
Das ist nun eine gewöhnliche quadratische Gleichung, aus der Du zwei Lösungen für [mm] x_0 [/mm] gewinnen kannst, nämlich [mm] x_{0(1)}=1 [/mm] und [mm] x_{0(2)}=-1.
[/mm]
> Somit kam ich auf diese Schlussfolgerung für den Beweis
> der Beschränktheit:
>
> > > [mm]x_{n+1}[/mm] -1 [mm]\geq[/mm] 0
Jetzt musst Du nur noch zeigen, welcher Grenzwert hier sinnvoll ist. Und vielleicht fragst Du Dich auch, ob der andere Grenzwert auch einen Sinn hat.
Dann schau mal nach.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo Reverend, entschuldige meine unklare erste Formulierung
> > Du weißt also jetzt, dass die Folge gegen einen (noch unbekannten) Grenzwert $ [mm] x_0 [/mm] $ konvergiert.
ich wollte damit fragen wie man auf $ [mm] x_{n+1} -1\geq [/mm] 0 $ kommt. Das ist mir noch etwas unklar. Ich sehe anhand der Folgen, dass [mm] x_{n+1} [/mm] >1 ist und ich sehe ja, dass der Grenzwert scheinbar 1 ist. Aber wie komm ich auf diesen Ausdruck? Hat das was mit [mm] |a_{n}-a|< \epsilon [/mm] zu tun?
Eins vorne Weg die Lösung -1 ergibt hier keinen Sinn, da die Folge nach unten beschränkt durch 1 ist!
Im gesamten hab ich eher ein Problem mit dem Beweis der beiden Sachen Monotonie und Beschränktheit.
Allgemein muss ich zeigen, dass die Folge beschränkt ist.
In diesem Fall ist das ja was wir zeigen wollen: $ [mm] x_{n+1} -1\geq [/mm] 0 $. Und genau dieses verstehe ich nicht. Wie kommt man auf diese Aussage: $ [mm] x_{n+1} -1\geq [/mm] 0 $?
Ab dann stelle ich dir Formel einfach nur um und komme zu [mm] x_{n} \geq [/mm] 1
Dadurch hab ich jetzt gezeigt dass für jedes beliebige [mm] x_{n} [/mm] der Wert größer gleich 1 ist.
Rein theoretisch könnte die Folge noch divergieren oder ins unendlich wachsen, deswegen zeigen wir, dass sie monoton fällt! Wenn sie nun monoton fällt hat sie (wenn man sich das grafisch vorstellt) gar keine andere Möglichkeit als gegen 1 zu konvergieren.
Für monoton fallend soll gelten: [mm] x_{n} \geq x_{n+1} [/mm] oder [mm] x_{n}-x_{n+1} \geq [/mm] 0 Auch hier einfach Werte einsetzen und man kommt zu dem Schluss: [mm] x_{n} \geq [/mm] 1
Jetzt weiß ich, dass [mm] x_{n} [/mm] einen Grenzwert hat und damit hat [mm] x_{n+1} [/mm] ebenfalls einen Grenzwert.
Meine Frage ist bis jetzt die Vorgehensweise richtig?
Du hast einen Fehler in der Formel gemacht es heißt: [mm] x_{n+1}=\frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Hallo Reverend, entschuldige meine unklare erste
> Formulierung
>
> > > Du weißt also jetzt, dass die Folge gegen einen (noch
> unbekannten) Grenzwert [mm]x_0[/mm] konvergiert.
>
> ich wollte damit fragen wie man auf [mm]x_{n+1} -1\geq 0[/mm] kommt.
> Das ist mir noch etwas unklar. Ich sehe anhand der Folgen,
> dass [mm]x_{n+1}[/mm] >1 ist und ich sehe ja, dass der Grenzwert
> scheinbar 1 ist. Aber wie komm ich auf diesen Ausdruck? Hat
> das was mit [mm]|a_{n}-a|< \epsilon[/mm] zu tun?
>
> Eins vorne Weg die Lösung -1 ergibt hier keinen Sinn, da
> die Folge nach unten beschränkt durch 1 ist!
>
> Im gesamten hab ich eher ein Problem mit dem Beweis der
> beiden Sachen Monotonie und Beschränktheit.
>
> Allgemein muss ich zeigen, dass die Folge beschränkt ist.
>
> In diesem Fall ist das ja was wir zeigen wollen: [mm]x_{n+1} -1\geq 0 [/mm].
> Und genau dieses verstehe ich nicht. Wie kommt man auf
> diese Aussage: [mm]x_{n+1} -1\geq 0 [/mm]?
>
> Ab dann stelle ich dir Formel einfach nur um und komme zu
> [mm]x_{n} \geq[/mm] 1
> Dadurch hab ich jetzt gezeigt dass für jedes beliebige
> [mm]x_{n}[/mm] der Wert größer gleich 1 ist.
>
> Rein theoretisch könnte die Folge noch divergieren oder
> ins unendlich wachsen, deswegen zeigen wir, dass sie
> monoton fällt! Wenn sie nun monoton fällt hat sie (wenn
> man sich das grafisch vorstellt) gar keine andere
> Möglichkeit als gegen 1 zu konvergieren.
>
> Für monoton fallend soll gelten: [mm]x_{n} \geq x_{n+1}[/mm] oder
> [mm]x_{n}-x_{n+1} \geq[/mm] 0 Auch hier einfach Werte einsetzen und
> man kommt zu dem Schluss: [mm]x_{n} \geq[/mm] 1
>
> Jetzt weiß ich, dass [mm]x_{n}[/mm] einen Grenzwert hat und damit
> hat [mm]x_{n+1}[/mm] ebenfalls einen Grenzwert.
>
> Meine Frage ist bis jetzt die Vorgehensweise richtig?
>
> Du hast einen Fehler in der Formel gemacht es heißt:
> [mm]x_{n+1}=\frac{x_{n}^2+1}{2x_{n}}[/mm]
Der Beweis besteht aus 3. Schritten:
1. [mm] $x_{n+1}-1=$...(kleine Rechnung)...$=\frac{(x_n-1)^2}{2x_n}\ge [/mm] 0$, also gilt [mm] $x_n\ge [/mm] 1$ für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$.
Dabei wurde nur die Bildungsvorschrift der [mm] $x_n$ [/mm] benutzt, jedoch noch keine aussage über Monotonie und Grenzwert gemacht.
2. [mm] $x_n-x_{n+1}=...=\frac{x_n^2-1}{2x_n}\ge [/mm] 0$, also ist [mm] $(x_n)$ [/mm] monoton fallend. Dabei wurde benutzt, dass nach 1. gilt [mm] $x_n\ge 1\Rightarrow x_n^2-1\ge [/mm] 0$.
Jetzt ist klar, dass die Folge eine Grenzwert [mm] $x_0$ [/mm] haben muss, dessen Wert aber noch unbekannt ist. Aus 1. folgt [mm] $x_0\ge [/mm] 1$, es könnte aber z.B. auch [mm] $x_0=1,05$ [/mm] oder [mm] $x_0=1,3$ [/mm] sein.
3. Zur bestimmung folgt [mm] $x_0$ [/mm] betrachtet man
[mm] $x_0=\lim x_n=\lim x_{n+1}=\frac{x_0^2+1}{2x_0}$ [/mm] und löst die Gleichung nach [mm] $x_0$ [/mm] auf.
|
|
|
| |
|
Danke, hab soweit grob verstanden. Komme auch auf die Lösung "1".
Aber wie kommt man zu dem Ausdruck [mm] x_{n+1}-1 \geq [/mm] 0? Das verstehe ich immer noch nicht. Wurde 1. benutzt um zu prüfen ob, es eine Beschränkung gibt?
|
|
|
| |
|
> Danke, hab soweit grob verstanden. Komme auch auf die
> Lösung "1".
>
> Aber wie kommt man zu dem Ausdruck [mm]x_{n+1}-1 \geq[/mm] 0? Das
> verstehe ich immer noch nicht. Wurde 1. benutzt um zu
> prüfen ob, es eine Beschränkung gibt?
Also
1.a. nachdem ich einige Folgenglieder ausgerechnet habe, habe ich den Verdacht, dass [mm] x_n\ge [/mm] 1 für alle n gilt. Dies gilt es nun zu beweisen.
1.b. Ich überlege mir, wie ich die Gleichung am geschicktesten umstelle, um [mm] x_n\ge [/mm] 1 bzw. [mm] x_{n+1}\ge [/mm] 1 zu zeigen und komme auf die Form [mm] x_{n+1}-1...
[/mm]
(Man könnte auch die $-1$ weglassen und [mm] x_{n+1} [/mm] so umformen, dass man am Ende sieht, dass der ausdruck [mm] \ge [/mm] 1 sein muss, aber mit [mm] x_{n+1}-1\ge [/mm] 0 geht es am elegantesten)
1.c. ich "rechne" mit dem Ausdruck [mm] x_{n+1}-1, [/mm] bis ich so umgeformt habe, dass [mm] ...\ge [/mm] 0 klar ersichtlich ist.
|
|
|
| |
|
Darf ich denn am Anfang auch [mm] |x_{n+1}-1|< \epsilon, [/mm] wobei [mm] \epsilon [/mm] > 0 sein soll, betrachten denn [mm] x_{n+1} [/mm] soll größer als 1 sein. Somit muss ich den zweiten Fall im Betrag betrachten:
[mm] -(x_{n+1}-1)<0 [/mm] wenn ich es umstelle so komm ich ebenfalls auf die Tatsache, dass [mm] x_{n} [/mm] > 1 sein soll. Damit hätte ich ebenfalls bewiesen, dass jedes [mm] x_{n} [/mm] größer eins ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Darf ich denn am Anfang auch [mm]|x_{n+1}-1|< \epsilon,[/mm] wobei
> [mm]\epsilon[/mm] > 0 sein soll,
Wa soll das ?????
> betrachten denn [mm]x_{n+1}[/mm] soll
> größer als 1 sein. Somit muss ich den zweiten Fall im
> Betrag betrachten:
>
Du hast doch eine prima Steilvorlage bekommen:
[mm] x_{n+1}-1= \bruch{x_n^2+1-2x_n}{x_n}
[/mm]
Siehst Du jetzt, dass [mm] x_{n+1}-1\ge [/mm] 0 ist ?
FRED
> [mm]-(x_{n+1}-1)<0[/mm] wenn ich es umstelle so komm ich ebenfalls
> auf die Tatsache, dass [mm]x_{n}[/mm] > 1 sein soll. Damit hätte
> ich ebenfalls bewiesen, dass jedes [mm]x_{n}[/mm] größer eins ist.
|
|
|
| |
|
Ja ich sehe, dass die Aussage war ist.
An was ich immer noch hänge ist, WIE man auf diesen Ausdruck kommt:
$ [mm] x_{n+1}-1\ge [/mm] 0$
Ich meine man saugt sich dieses ja nicht einfach so aus den Fingern. Oder ist diese Ungleichung einfach eine gedankliche Überlegung, die man dann beweist? Also sprich: man sieht, dass die Folge scheinbar immer größer eins ist und somit dann auch: $ [mm] x_{n+1}-1\ge [/mm] 0$ gelten muss!?
Alles andere ist verständlich
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 23.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
