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| Aufgabe | | Prüfe die Folge [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}^3$ [/mm] mit [mm] $a_{0} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$, [/mm] $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] auf Konvergenz und im Fall von Konvergenz den Grenzwert. |
Wie gehe ich da nun die Lösung an?
Ich habe mir die ersten 4 Folgenwerte mal aufgeschrieben:
[mm] $a_{0} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $a_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{8}$
[/mm]
[mm] $a_{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{512}$
[/mm]
[mm] $a_{3} [/mm] = [mm] \frac{1}{134217728}$
[/mm]
Daraus schließe ich, dass der Nenner gegen Null geht. Impliziert das gleich, dass der Grenzwert auch gegen Null geht, weil $1/0$?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Prüfe die Folge [mm]a_{n+1} = a_{n}^3[/mm] mit [mm]a_{0} = \frac{1}{2}[/mm],
> [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] auf Konvergenz und im Fall von Konvergenz
> den Grenzwert.
> Wie gehe ich da nun die Lösung an?
Zunächst ein paar Folgenglieder ausrechnen ist immer ein guter Anfang. Das hast du bereits getan:
> Ich habe mir die ersten 4 Folgenwerte mal aufgeschrieben:
>
> [mm]a_{0} = \frac{1}{2}[/mm]
> [mm]a_{1} = \frac{1}{8}[/mm]
> [mm]a_{2} = \frac{1}{512}[/mm]
>
> [mm]a_{3} = \frac{1}{134217728}[/mm]
>
> Daraus schließe ich, dass der Nenner gegen Null geht.
> Impliziert das gleich, dass der Grenzwert auch gegen Null
> geht, weil [mm]1/0[/mm]?
Nein.
Du meinst, dass der Nenner gegen unendlich geht, und damit die Folge gegen 0 geht. Das ist richtig, aber kein Beweis.
Du kannst nicht auf Basis von drei ausgerechneten Folgengliedern etwas über das Verhalten der Folge im Unendlichen folgern. Aber guck die Folge nochmal etwas genauer an:
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}^3$, $a_0 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Wenn du ein bisschen überlegst, fällt dir vielleicht eine explizite Darstellung ein! Die ersten paar Folgenglieder lauten ja:
[mm] $a_0 [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{1}$, [/mm]
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] a_0^3 [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$, [/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] a_1^3 [/mm] = [mm] \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\right)^3 [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{3^2}$, [/mm]
[mm] $a_3 [/mm] = [mm] a_2^3 [/mm] = [mm] \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3^2}\right)^3 [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{3^3}$, [/mm]
...
Wenn du eine explizite Darstellung gefunden hast, kannst du anhand dieser deine Vermutung beweisen.
Viele Grüße,
Stefan
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Ahhh okay.
Das heißt also die Folge lässt sich auch so schreiben:
[mm] $(\frac{1}{2})^{3^n}$ [/mm] und dann lasse ich $n [mm] \mapsto \infty$ [/mm] laufen und das ist mein Grenzwert?
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Hallo,
> Ahhh okay.
>
> Das heißt also die Folge lässt sich auch so schreiben:
>
> [mm](\frac{1}{2})^{3^n}[/mm] und dann lasse ich [mm]n \mapsto \infty[/mm]
> laufen und das ist mein Grenzwert?
Genau, weil die von dir gefundene explizite Darstellung ja dieselbe Folge wie die in der Aufgabe beschreibt.
Grüße,
Stefan
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