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Hallo,
auf unserem Übungsblatt ist folgende Aufgabe zu finden:
Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der rekursiv definierten Folge. Finden und beweisen Sie dann eine explizite Darstellung für diese.
Folge:
[mm] a_{1}=2,\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; a_{n+1}=\frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}{a_{j}}
[/mm]
Gut - die ersten fünf Glieder sind:
2/3, 8/9, 32/27, 128/81 und 512/249
Die explizite Darstellung, die ich gefunden habe:
[mm] \frac{4^{n}}{\frac{2}{3^{n}}}
[/mm]
Nun soll ich das beweisen. Mein Ziel ist:
[mm] \frac{2\; \cdot \; \left( \frac{4}{3} \right)^{n}}{3}
[/mm]
Also:
[mm] \frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n+1}{a_{j}}=\; \frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}{a_{j}}+a_{n+1}\; [/mm]
Nun kann ich ja den ersten Summanden der rechten Seite ersetzen durch [mm] a_{n+1} [/mm] - dies ergibt:
[mm] a_{n+1}+a_{n+1}\; =\; 2\left( a_{n+1} \right)\; =\; 2\left( \frac{4^{n}}{\frac{2}{3^{n}}} \right)\; =\; \left( \frac{4}{3} \right)^{n}
[/mm]
Nicht ganz, das, was ich zeigen wollte. Hilfe. :(
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