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| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert folgender rekursiv definierter Folge:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{5}a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{13}{5} [/mm]
für alle natürlichen Zahlen n mit [mm] a_{n} [/mm] = 5 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Kann mir bitte jemand helfen und sagen wie ich sowas angehe?
Einfach einsetzen geht ja nicht da ich [mm] a_{n+1} [/mm] habe.
Danke im Voraus!
Lg
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Huhu,
zeige die Folge ist monoton wachsend und nach oben beschränkt.
Dann weisst du, der Grenzwert existiert und erfüllt die Gleichung
[mm] $\lim a_{n+1} [/mm] = [mm] \lim a_n$
[/mm]
Damit kannst du ihn dann ausrechnen.
MFG,
Gono.
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Gut diese Folge ist monoton steigend, aber nach oben unbegrenzt oder?
Schließlich steigt der Wert ins Unendliche.
Das [mm] a_{n+1} [/mm] ist in meinem Fall [mm] a_{2} [/mm] oder?
Also hab ich doch:
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{5}*5+\bruch{13}{5}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{33}{5}
[/mm]
Ist das überhaupt richtig so? Kommt mir irgendwie nicht so vor.
Wie geht es dann weiter?
Danke!
Lg
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Hallo,
bist Du Dir sicher, den Aufgabentext im O-Ton wiedergegeben zu haben.
Mir kommt zweierlei sehr merkwürdig vor:
1. Ich vermisse einen Startwert, also eine Angabe [mm] a_1= [/mm] ...
2. Was soll
> für alle natürlichen Zahlen n mit $ [mm] a_{n} [/mm] $ = 5
bedeuten?
Na gut, Ratemodus ein:
Es ist in Wahrheit [mm] a_1:=5 [/mm] und [mm] a_{n+1}=$ \bruch{4}{5}a_{n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{13}{5} [/mm] $ ,
und Du sollst nun ggf. den Grenzwert sagen.
>
> Das [mm]a_{n+1}[/mm] ist in meinem Fall [mm]a_{2}[/mm] oder?
> Also hab ich doch:
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]\bruch{4}{5}*5+\bruch{13}{5}[/mm]
>
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]\bruch{33}{5}[/mm]
>
> Ist das überhaupt richtig so? Kommt mir irgendwie nicht so
> vor.
> Wie geht es dann weiter?
Ich reime mir zusammen, daß Du jetzt erstmal die ersten 17 (oder so ) Folgenglieder berechnen möchtest, was nicht die schlechteste Idee ist.
[mm] a_3=a_{2+1}=$ \bruch{4}{5}a_{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{13}{5} [/mm] $ = ...
[mm] a_4=a_{3+1}= [/mm] ...
[mm] \vdots
[/mm]
> Gut diese Folge ist monoton steigend, aber nach oben
> unbegrenzt oder?
> Schließlich steigt der Wert ins Unendliche.
Wenn Du genug Folgenglieder ausgerechnet hast, dann wirst Du ahnen können, ob die Folge steigt oder fällt oder oder nichts von beidem, und auch, ob sie einen Grenzwert hat.
Falls gefragt wäre (möglicherweise unausgesprochen), ob sie einen Grenzwert hat, müßtest Du zunächst dessen Existenz nachweisen.
Das kannst Du tun, indem Du zeigst: monoton und beschränkt.
Ob dies bei Deiner Aufgabenstellung erforderlich ist, weiß ich nicht - kommt auch ein bißchen aufs Studienfach an.
Hat man die Erkenntnis, daß die Folge gegen einen Grenzwert a konvergiert, so muß ja gelten, da [mm] a_{n+1}=$ \bruch{4}{5}a_{n} +\bruch{13}{5}$ [/mm] ist:
a=$ [mm] \bruch{4}{5}a_{}+\bruch{13}{5} [/mm] $,
und hieraus kannst Du Dein a ermitteln.
Gruß v. Angela
>
> Danke!
>
> Lg
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Ich bitte vielmals um Entschuldigung, natürlich, es heißt nicht [mm] a_{n} [/mm] = 5 sondern [mm] a_{1} [/mm] = 5.
Also das Ergebnis dieser Rechnung ist 13 laut MapleTA. Ich hab keine Ahnung wie man darauf kommt.
Die Folge ist monoton steigend und läuft auf [mm] \infty [/mm] raus oder? Also ist sie ja nicht nach oben hin beschränkt oder?
Muss ich in diesem Fall a=$ [mm] \bruch{4}{5}a_{}+\bruch{13}{5} [/mm] $ ermitteln?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Folge läuft nicht nach unendlich, sondern sie ist beschränkt.
sonst hätte sie ja auch keinen GW.
Da du den Gw schon kennst, versuch, ob der ne obere Schranke ist.also Versuch [mm] a_n\le [/mm] 13
also [mm] a_1\le [/mm] 13 stimmt da [mm] 5\le [/mm] 13
Induktionsanfang [mm] a_n\le [/mm] 13
Beh. daraus folgt [mm] a_{n+1}\le [/mm] 13
Das ist jetzt deine erste Aufgabe.
danach kommt [mm] a_n [/mm] ist eine monoton wachsende Folge
dazu musst du zeigen [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] dabei kannst du schon benutzen dass
die [mm] a_n \le [/mm] 13 sind.
Wenn du die punkte hast, hast du konvergenz, und eigentlich kannst du dann erst den GW a ausrechnen wie in deinem post
Gruss leduart
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert folgender rekursiv definierter Folge:
$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{4}{5}a_{n} [/mm] $+$ [mm] \bruch{13}{5} [/mm] $
für alle natürlichen Zahlen n mit $ [mm] a_{1} [/mm] $ = 5 |
So, hier nochmal die Angabe, ich komm einfach nicht weiter.
Ich kann doch nicht mit 13 weiterrechnen, wenn ich erst den Wert 13 ausrechnen muss.
Bisher hab ich einfach versucht verschiedene Werte für $ [mm] a_{n} [/mm] $ einzusetzen bis der ausgerechnete Wert mit dem eingegebenen Wert übereinstimmt. Das heißt ich habe folgende Formel:
$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{4}{5}*13 [/mm] $+$ [mm] \bruch{13}{5} [/mm] $
Hier bekomm ich als Ergebnis 13 und das stimmt auch.
Wie komme ich nun auf dieses Ergebnis, ohne jeden einzelnen Wert einzusetzen und zu probieren bis endlich einer passt?
Lg
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Hallo,
> Berechnen Sie den Grenzwert folgender rekursiv definierter
> Folge:
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{4}{5}a_{n} [/mm]+[mm] \bruch{13}{5}[/mm]
> für alle
> natürlichen Zahlen n mit [mm]a_{1}[/mm] = 5
> So, hier nochmal die Angabe, ich komm einfach nicht
> weiter.
>
> Ich kann doch nicht mit 13 weiterrechnen, wenn ich erst den
> Wert 13 ausrechnen muss.
> Bisher hab ich einfach versucht verschiedene Werte für
> [mm]a_{n}[/mm] einzusetzen bis der ausgerechnete Wert mit dem
> eingegebenen Wert übereinstimmt. Das heißt ich habe
> folgende Formel:
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{4}{5}*13 [/mm]+[mm] \bruch{13}{5}[/mm]
> Hier bekomm
> ich als Ergebnis 13 und das stimmt auch.
>
> Wie komme ich nun auf dieses Ergebnis, ohne jeden einzelnen
> Wert einzusetzen und zu probieren bis endlich einer passt?
Ich habe nicht alles gelesen, und auf die Gefahr hin, etwas zu wiederholen.
Zeige:
1) Die Folge ist nach oben beschränkt (meinetwetwegen durch 13), zeige also [mm]a_n\le 13[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
2) Die Folge ist monoton steigend (darauf kommt man, wenn man 2-3 Folgenglieder mal berechnet ...)
Zeige also [mm]a_{n+1}-a_n\ge 0[/mm]
Wenn das beides gilt, so ex. der GW.
Berechnen kannst du den mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a[/mm]
Also [mm]a=\frac{4}{5}a+\frac{13}{5}[/mm]
Das kann man immer mal vorab machen, um eine Ahnung zu bekommen, wo es hinläuft ...
Daher auch die 13 in 1) 
1) zeige durch eine vollst. Induktion nach n
Für 2) kannst du 1) benutzen
>
> Lg
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