Rekursive Folge - Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Es sei die Folge [mm] (a_n)_{n \n \mathbb N} [/mm] rekursiv definiert durch:
[mm] a_1 [/mm] = 1 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{4a_n}{3a_n+3}
[/mm]
Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen sie ggf. den Grenzwert. |
Hi!
Bei solchen Aufgaben kann man doch nach folgendem Schema vorgehen, richtig?
1) nach oben (unten) beschränkt
2) monoton steigend (fallend)
dann Bestimmung des Grenzwerts.
1. Wie soll ich raten, durch was diese Funktion beschränkt ist? Was gibts da für Tricks?
2. Ich verstehe die vollständige Induktion nicht, die gemacht wurde, um zu zeigen, dass [mm] a_n \geq \bruch{1}{3}
[/mm]
I.A. ..
I.V. [mm] a_n \geq \bruch{3}{4} [/mm] für ein n [mm] \in \mathbb [/mm] N
I.S.
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{4a_n}{3a_n+3} \geq \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \bruch{4a_n}{a_{n+1}} \geq [/mm] 1
und nun ist das äquivalent zu (nach I.V.)
[mm] 4a_n \geq a_{n+1} \Leftrightarrow a_n \geq \bruch{1}{3}
[/mm]
Die letzten beiden Schritte kann ich nicht ganz nachvollziehen :(
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Hi! Also, die Abschätzungen erhält man indem man sich die ersten Folgenglieder ansieht:
[mm]a_{1}=1 [/mm]
[mm]a_{2}=\frac{4*a_{1}}{3*a_{1}+3}=2/3 [/mm]
[mm]a_{3}=\frac{4*a_{2}}{3*a_{2}+3}=8/15 [/mm] ....
Eigentlich reicht es sich zu überlegen, dass die Folge wohl gegen Null gehen könnte, denn dass wäre ja auch schon eine Schranke nach unten und auch das kann man per Induktion zeigen.
([mm] I.A.: a_{n}\ge 0, I.S.: a_{n+1} \ge 0 \gdw \frac{4*a_{n}}{3*a_{n}+3} \ge 0 \gdw (da, der Nenner wegen I.A. \not= 0) 4*a_{n} \ge 0 und das gilt nach I.V. [/mm]! q.e.d. )
Aber auch die Abschätzung [mm]a_n \geq \bruch{1}{3}[/mm] ist möglich:
Bei der Induktion passiert folgendes:
> Nach I.V. ist [mm]a_n \geq \bruch{4}{3}[/mm] für ein n [mm]\in \mathbb[/mm] N
Wie wir ja oben in den ersten Gliedern sehen, sind die Glieder der Folge auf jeden Fall kleiner 1, daher nehmen wir einfach mal an , das ein Glied irgendwo noch größer als oder gleich 3/4 ist: (Warum nicht? - Kann man ja erstmal annehmen.)
> I.S.
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{4a_n}{3a_n+3} \geq \bruch{1}{3}[/mm]
Jetzt kann ich im Nenner die 3 ausklammern und damit durchmultiplizieren:
>
> [mm]\Leftrightarrow \bruch{4a_n}{a_{n+1}} \geq[/mm] 1
> und nun ist das äquivalent zu (nach I.V.)
> [mm]4a_n \geq a_{n+1} \Leftrightarrow a_n \geq \bruch{1}{3}[/mm]
Hier hast du wohl falsch mitgeschrieben: Eigentlich müsste da stehen: [mm]\Leftrightarrow \bruch{4a_n}{a_{n}+1} \geq 1 \gdw 4a_{n}\ge a_{n}+1 \gdw 3a_{n} \ge 1 [/mm])
Nun kann ich durch 3 dividieren und die Behauptung [mm] a_{n}\ge 1/3[/mm] ist bewiesen.
Gruß Deuterinomium
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