Rekursive Folge -> explizit? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Luniac |
| Aufgabe | | Gegeben ist die rekursive Folge a(n+1) = 2 * [mm] \wurzel{2*a(n)} [/mm] mit dem Anfangswert a(1) = 4. Wie lautet das explizite Bildungsgesetz a(n) = f (n) |
Hallo!
Ich kriege es leider nicht hin diese Aufgabe zu lösen. Normalerweise ist es ja kein Problem, wenn man weiß wievielter Ordnung eine Folge ist, das Bildungsgesetz davon rauszufinden.
Hier finde ich nichtmal die Ordnung heraus, da sich die Folge einfach für mich nicht erkennbar verändert.
Hat jemand eine Idee wie man diese Aufgabe löst?
Die ersten Glieder sind nach meiner Berechnung:
4 , 5,66 , 6,73 , 7,34 , 7,66
Bin absolut ratlos. Vielen Dank für eure Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Deine Folge hat die Form [mm] $a(n+1)=c*\sqrt{a(n)}$ [/mm] mit [mm] $c=2\sqrt{2} [/mm] > 0$. Ferner ist auch $x:=a(1)=4 > 0$.
Schauen wir uns die Folge mal in Abhängigkeit von $a(1)=x$ und $c$ an:
[mm] $a(1)=x=c^0*x^{\left(\frac{1}{2}\right)^0}$,
[/mm]
[mm] $a(2)=c*\sqrt{a(1)}=c*\sqrt{x}=c^1*x^{\frac{1}{2}}$,
[/mm]
[mm] $a(3)=c*\sqrt{a(2)}=c*\sqrt{c}*\sqrt{\sqrt{x}}=c^{\frac{3}{2}}*x^{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=c^{\frac{3}{2}}*x^{\left(\frac{1}{2}\right)^2}$,
[/mm]
[mm] $a(4)=c*\sqrt{a(3)}=c*\sqrt{c^{\frac{3}{2}}}*\sqrt{x^{\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=c^{\frac{7}{4}}*x^{\left(\frac{1}{2}\right)^3}$
[/mm]
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.
Mit anderen Worten:
Du solltest schonmal erkennen, dass gilt:
[mm] $a(n)=c^{r(n)}*x^{s(n)}$ [/mm] mit gewissen Folgen $r(n)$ und $s(n)$ (wobei hier konkret [mm] $c=2*\sqrt{2}=\sqrt{8}$ [/mm] und $x=a(1)=4$).
Es ist sicher keine Kunst, zu erkennen, dass [mm] $s(n)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN=\IN_{\ge 1}$).
[/mm]
Interessanter wird das Bildungsgesetz für $r(n)$:
$r(1)=0$, $r(2)=1$, [mm] $r(3)=\frac{3}{2}=1+\frac{r(2)}{2}$, $r(4)=\frac{7}{4}=1+\frac{3}{4}=1+\frac{r(3)}{2}$, $r(5)=1+\frac{r(4)}{2}=1+\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$...
[/mm]
Da erkennt man natürlich wieder, wie das ganze rekursiv aussieht, wir brauchen aber eine explizite Form für $r(n)$. Dazu schreibe mal [mm] $r(2)=\frac{1}{1}$ [/mm] und betrachte mal ab $n=2$ die Folgen, die im Zähler und im Nenner von $r(n)$ stehen:
Die Zählerfolge:
Für $n=2$: [mm] $1=2^1-1$, [/mm]
Für $n=3$: [mm] $3=2^2-1$
[/mm]
Für $n=4$: [mm] $7=2^3-1$
[/mm]
Für $n=5$: [mm] $15=2^4-1$
[/mm]
.
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.
Die Nennerfolge:
Für $n=2$: [mm] $1=2^0$, [/mm]
Für $n=3$: [mm] $2=2^1$
[/mm]
Für $n=4$: [mm] $4=2^2$
[/mm]
Für $n=5$: [mm] $8=2^3$
[/mm]
.
.
.
Daraus erkennt man, dass man explizit [mm] $r(n)=\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-2}}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN_{\ge 2}$ [/mm] schreiben kann, und wegen [mm] $\frac{2^{1-1}-1}{2^{1-2}}=0$ [/mm] gilt das auch für $r(1)$.
So, jetzt musst DU das nur noch alles einmal zusammenbasteln und erkennst:
[mm] $a(n)=c^{r(n)}*x^{s(n)}$, [/mm] wobei:
[mm] $c:=\sqrt{8}=2*\sqrt{2}$, [/mm] $x:=4$, und die Folgen $r(n)$ und $s(n)$ wie folgt explizit definiert sind:
[mm] $r(n)=\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-2}}$ [/mm] und [mm] $s(n):=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Das war nun der konstruktive Weg. Setze das nun alles mal ein, dann hast Du eine explizite Form für $a(n)$, die Du noch beweisen solltest. Das macht man dann induktiv.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Luniac |
Ah okay, jetzt bin ich schonmal ein ganzes Stück weiter.
Werd mich mal dransetzen das auszurechnen. :)
Vielen Dank für die schnell antwort!
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Marcel hat dir schon einen Lösungsweg gezeigt.
Anstatt mit zwei Hilfsfolgen könntest du auch mit einer
auskommen, wenn du bemerkst, dass alle Glieder
als Potenzen von 2 geschrieben werden können.
Mein Tipp wäre es also,
[mm] a_n=2^\big{{e_n}}
[/mm]
zu setzen und dann die Exponentenfolge zu betrachten.
Gruß al-Chw.
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