Rekursive Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | Eine Folge ([m]s_n), \, n = 1, ... [/m] sei explizit definiert durch [m]s_n = \summe_{i=1}^{n} i^2[/m]. Geben Sie eine rekursive Definition dieser Folge an. |
| Aufgabe 2 | Sei [m](x_n)[/m] die Folge aller natürlicher Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest 2 ergeben, aufsteigend geordnet. Geben Sie die Folge [m](x_n)[/m]
a) explizit an (d.h. aufzählend die ersten 5 Glieder, danach Pünktchen)
b) durch eine explizite Formel "[m]x_n = ... [/m] für alle n" an.
c) durch eine rekursive Definition an. |
| Aufgabe 3 | a) Eine Folge [m]s_n, \, n = 1, ... [/m] sei explizit definiert durch [m]s_n = 3 \summe_{i=1}^{n} i^2[/m].
Geben Sie eine rekursive Definition dieser Folge an.
b) Gegeben ist die Folge [m]x_n, \, n = 1, ... [/m] durch: [m]-4, 8, -12, 16 ... [/m]
Geben Sie eine explizite Definition für [m]x_n[/m] an und eine rekursive Definition. |
Zu Aufgabe 2:
a) [m]x_n = {2, 9, 16, 25, 32 ....}[/m]
b) [m]x_n = n \equiv 2 \; (mod \, 7) für alle n[/m]
(Sind die Schreibweisen (und Lösungen) so korrekt und ausführlich genug? Wenn nicht, bitte korrigieren...)
Hat jemand Tipps für mich zu den anderen beiden Aufgaben?
.... und kann mir bitte einer den Begriff der Rekursion einfach und verständlich erklären (ggf. mit einem Beispiel?!)
Ich habe es mir in einigen Büchern angeschaut, brauche aber eine Allgemeingültigkeit, so dass ich die Rekursion auf alle Definitionen anwenden kann (sofern es möglich ist?)
Vielen Dank im voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Sa 08.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Eine Folge ([mm]s_n), \, n = 1, ...[/mm] sei explizit definiert
> durch [mm]s_n = \summe_{i=1}^{n} i^2[/mm]. Geben Sie eine rekursive
> Definition dieser Folge an.
> Sei [mm](x_n)[/mm] die Folge aller natürlicher Zahlen, die bei
> Division durch 7 den Rest 2 ergeben, aufsteigend geordnet.
> Geben Sie die Folge [mm](x_n)[/mm]
>
> a) explizit an (d.h. aufzählend die ersten 5 Glieder,
> danach Pünktchen)
> b) durch eine explizite Formel "[mm]x_n = ...[/mm] für alle n"
> an.
> c) durch eine rekursive Definition an.
> a) Eine Folge [mm]s_n, \, n = 1, ...[/mm] sei explizit definiert
> durch [mm]s_n = 3 \summe_{i=1}^{n} i^2[/mm].
> Geben Sie eine
> rekursive Definition dieser Folge an.
>
> b) Gegeben ist die Folge [mm]x_n, \, n = 1, ...[/mm] durch: [mm]-4, 8, -12, 16 ...[/mm]
>
> Geben Sie eine explizite Definition für [mm]x_n[/mm] an und eine
> rekursive Definition.
> Zu Aufgabe 2:
> a) [mm]x_n = {2, 9, 16, 25, 32 ....}[/mm]
> b) [mm]x_n = n \equiv 2 \; (mod \, 7) für alle n[/mm]
Hallo,
das ist zu billig. Die Folge {7;14;21;28;...} lässt sich beschreiben durch [mm]x_n=7*n[/mm].
Da die Glieder deiner Folge jeweils etwas kleiner sind, lautet die explizite Darstellung
[mm]x_n=7*n-...[/mm]. Kommst du damit klar?
Eine im Teil c) geforderte rekursive Darstellung
besteht grundsätzlich aus den beiden Teilen
[mm]a_1=...[/mm]
und
[mm]a_{n+1}= (Term\; mit\; a_n)[/mm]
Gruß Abakus
>
> (Sind die Schreibweisen (und Lösungen) so korrekt und
> ausführlich genug? Wenn nicht, bitte korrigieren...)
>
> Hat jemand Tipps für mich zu den anderen beiden Aufgaben?
> .... und kann mir bitte einer den Begriff der Rekursion
> einfach und verständlich erklären (ggf. mit einem
> Beispiel?!)
> Ich habe es mir in einigen Büchern angeschaut, brauche
> aber eine Allgemeingültigkeit, so dass ich die Rekursion
> auf alle Definitionen anwenden kann (sofern es möglich
> ist?)
>
> Vielen Dank im voraus!
|
|
|
| |
|
Ok. Bei einer rekursiv definierten Folge wird also definiert, wie sich ein Folgenglied aus seinem Vorgänger in der Abzählung ergibt?
Beispiel:
[m]a_1 := 1, a_{n+1} := 2a_n + 3[/m] liefert [mm] a_1 [/mm] = 1.
Für [m]a_2 = 2a_1 +3 = 2 * 1 + 3 = 5, a_3 = 2a_2 +3 = 2 * 5 +3 = 13 , ...[/m]
Weiß jetzt aber immer noch nicht, wie ich die o.g. Aufgaben lösen soll?!
Hättest Du noch einen Tipp für mich?
|
|
|
| |
|
Hallo gummibaum!
> Ok. Bei einer rekursiv definierten Folge wird also
> definiert, wie sich ein Folgenglied aus seinem Vorgänger
> in der Abzählung ergibt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dabei kann es sich aber auch um einen Vorvorgänger handeln, oder auch mehrere Vorgänger.
> Beispiel:
>
> [m]a_1 := 1, a_{n+1} := 2a_n + 3[/m] liefert [mm]a_1[/mm] = 1.
> Für [m]a_2 = 2a_1 +3 = 2 * 1 + 3 = 5, a_3 = 2a_2 +3 = 2 * 5 +3 = 13 , ...[/m]
> Weiß jetzt aber immer noch nicht, wie ich die o.g.
> Aufgaben lösen soll?!
Schauen wir uns mal die Aufgabe (1) an mit: [mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n} i^2$
[/mm]
Es gilt:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n} i^2 [/mm] \ = \ [mm] 1^2+2^2+3^2+4^2+...+(n-1)^2+n^2$
[/mm]
Dabei ist:
[mm] $s_1 [/mm] \ = \ [mm] 1^2$
[/mm]
[mm] $s_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{1^2}+2^2 [/mm] \ = \ [mm] \red{s_1}+2^2$
[/mm]
[mm] $s_3 [/mm] \ = \ [mm] \blue{1^2+2^2}+3^2 [/mm] \ = \ [mm] \blue{s_2}+3^2$
[/mm]
usw.
Kannst Du hier nun eine rekursive Darstellung herleiten?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Ok. Ich versuche es mal:
Vor.: [mm] (s_n), [/mm] n = 1, [mm] \summe_{i=1}^{n} i^2
[/mm]
Zu zeigen: [mm] s_{n+1}
[/mm]
Es gilt: [mm] (s_n), [/mm] n = 1, [mm] \summe_{i=1}^{n} i^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + ... + [mm] (n-1)^2 [/mm] + [mm] n^2
[/mm]
Dann ist:
[mm] s_1 [/mm] = [mm] (i_1)^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] = 1
[mm] s_2 [/mm] = [mm] s_1 [/mm] + [mm] (i_2)^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] = 5
[mm] s_3 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] + [mm] (i_3)^2 [/mm] = 5 + [mm] 3^2 [/mm] = 14
[mm] s_4 [/mm] = [mm] s_3 [/mm] + [mm] (i_4)^2 [/mm] = 14 + 16 = 30
[mm] s_5 [/mm] = [mm] s_4 [/mm] + [mm] (i_5)^2 [/mm] = 30 + [mm] 5^2 [/mm] = 55
[mm] s_6 [/mm] = [mm] s_5 [/mm] + [mm] (i_6)^2 [/mm] = 55 + [mm] 6^2 [/mm] = 91
....
Die Differenz der Folgenglieder sind die Quadrate der aller aufsteigenden n [mm] \in \IN., [/mm] aber beginnend bei 1, und dann +4, +9, +16, + unter Berücksichtigung des zuletzt berechneten n. Ist das so korrekt und ist die Schreibweise auch korrekt?
Wie sind nun die rekursive Definition aus? Sorry, aber ich habe das vorher nie gemacht, deswegen stehe ich gerade auf dem Schlauch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Di 11.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> ....
> [mm]s_6[/mm] = [mm]s_5[/mm] + [mm](i_6)^2[/mm] = 55 + [mm]6^2[/mm] = 91
Das ist nicht [mm] $i_6$, [/mm] sondern für i wird 6 eingesetzt, also
[mm] $s_6 [/mm] = [mm] s_5 [/mm] + [mm] 6^2 [/mm] = $...
> ....
>
> Wie sind nun die rekursive Definition aus? Sorry, aber ich
> habe das vorher nie gemacht, deswegen stehe ich gerade auf
> dem Schlauch...
Aus der Zeile oben abgeschrieben, bloß etwas allgemeiner:
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] s_n [/mm] + [mm] n^2$
[/mm]
|
|
|
|
