Rekursive Folgen Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 29.04.2011 | | Autor: | al3pou |
Hallo an alle,
also ich hab einfach ein sehr großes Problem damit, wie man den Grenzwert von rekursiv definierten Folgen bestimmt. Ich hab mir die anderen Beiträge dazu schon tausendmal angeschaut und blick da einfach nicht durch. Kann mir irgendjemand in gaaaaaaanz kleinen Schritten mal genau erklären, wie das nun geht? Ich versteh da echt nur Bahnhof.
Danke 
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> Hallo an alle,
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> also ich hab einfach ein sehr großes Problem damit, wie
> man den Grenzwert von rekursiv definierten Folgen bestimmt.
> Ich hab mir die anderen Beiträge dazu schon tausendmal
> angeschaut und blick da einfach nicht durch. Kann mir
> irgendjemand in gaaaaaaanz kleinen Schritten mal genau
> erklären, wie das nun geht? Ich versteh da echt nur
> Bahnhof.
>
> Danke
Guten Abend,
naja, so ein allgemein gültiges Rezept für beliebige
rekursiv definierte Folgen gibt es eben nicht.
Wenn man allerdings schon weiß, dass eine durch einen
Startwert [mm] a_1 [/mm] und eine Rekursionsformel der Form [mm] a_{n+1}=f(a_n)
[/mm]
definierte Folge wirklich einen Grenzwert hat, dann muss
dieser ein Fixpunkt der Funktion f sein. Das heißt, wenn ein
Grenzwert $\ [mm] x_0=\limes_{n\to\infty}a_n$ [/mm] existiert, so muss [mm] f(x_0)=x_0 [/mm] sein.
Diese Betrachtung hilft manchmal beim Auffinden von
Grenzwerten.
Zeige uns allenfalls an konkreten Beispielen, welche
Überlegungen du nicht verstanden hast.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Fr 29.04.2011 | | Autor: | al3pou |
okay alles klar.
also ich habe die rekursiv definierte Folge mit [mm] a_{1} [/mm] = 1 , [mm] a_{n1} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n} + 1}{3}
[/mm]
Ich habe mit Induktion gezeigt, dass die Folge durch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] unten beschränkt ist und weiter hin hab ich gezeigt, dass es sich um eine streng monoton fallende Folge handelt sowie die Konvergenz bestimmt, weil sie ja streng monoton fallend ist und nach unten beschränkt ist (ist nen Satz aus unserer Vorlesung). Jetzt muss ich den Grenzwert bestimmen, aber wie=?
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> okay alles klar.
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> also ich habe die rekursiv definierte Folge mit [mm]a_{1}[/mm] = 1 ,
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{a_{n} + 1}{3}[/mm]
>
> Ich habe mit Induktion gezeigt, dass die Folge durch
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] unten beschränkt ist und weiter hin hab ich
> gezeigt, dass es sich um eine streng monoton fallende Folge
> handelt sowie die Konvergenz bestimmt, weil sie ja streng
> monoton fallend ist und nach unten beschränkt ist (ist nen
> Satz aus unserer Vorlesung). Jetzt muss ich den Grenzwert
> bestimmen, aber wie=?
Genau nach meiner Vorgabe. Wenn du bewiesen hast,
dass der Grenzwert existieren muss, so bestimme ihn
als Fixpunkt der Funktion f, die hinter der Rekursions-
formel steckt. Im vorliegenden Beispiel also
[mm] f(x)=\frac{x+1}{3}
[/mm]
Bestimme den Wert [mm] x_0 [/mm] , für welchen [mm] f(x_0)=x_0 [/mm] ist.
Die Idee dahinter kannst du dir so klar machen:
Für sehr große Werte von n unterscheidet sich [mm] a_{n+1}
[/mm]
kaum noch von [mm] a_n [/mm] , wenn die Folge wirklich einen
Grenzwert [mm] x_0 [/mm] hat:
$\ [mm] a_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] f(a_n)\ \approx\ a_n\ \approx\ x_0$
[/mm]
Beim Grenzwert [mm] x_0 [/mm] selbst muss die Gleichung [mm] f(x_0)=x_0
[/mm]
exakt stimmen (jedenfalls wenn f eine stetige Funktion ist).
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Sa 30.04.2011 | | Autor: | al3pou |
okay, also das [mm] a_{n+1} [/mm] bei extrem großen Werten für n sich kaum noch von [mm] a_{n} [/mm] unterscheidet, ist mir klar, aber was genau ist dann der Fixpunkt? Ist es einfach nur der Grenzwert dieser Funktion?
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Hallo,
> okay, also das [mm]a_{n+1}[/mm] bei extrem großen Werten für n
> sich kaum noch von [mm]a_{n}[/mm] unterscheidet, ist mir klar, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber
> was genau ist dann der Fixpunkt? Ist es einfach nur der
> Grenzwert dieser Funktion?
Nee, aber wenn dir obiges klar ist, dann ist doch [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}[/mm] , oder?
Nenne diesen GW (dessen Existenz du ja schon nachgewiesen hast durch Monotonie und Beschränktheit) mal [mm]a[/mm]
Dann ist [mm]a=\frac{a+1}{3}[/mm]
Das löse nach [mm]a[/mm] auf und du hast deinen GW
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 30.04.2011 | | Autor: | al3pou |
okay hab ich gemacht. Grenzwert hab ich jetzt berechnet, aber warum kann ich einfach mal a rechnen und der lim verschwindet dann?
das steht ja eig.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n}+1}{3}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> okay hab ich gemacht. Grenzwert hab ich jetzt berechnet,
> aber warum kann ich einfach mal a rechnen und der lim
> verschwindet dann?
> das steht ja eig.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{a_{n}+1}{3}[/mm]
Nein, da steht erstmal:
[mm]a_{n+1}=\frac{a_n+1}{3}[/mm]
Dann im Limes (der ex. ja)
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n+1}{3}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n \ +1}{3}[/mm]
Und [mm]\lim\limit_{n\to\infty}a_{n+1}[/mm] und [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n[/mm] sind gleich.
Den habe ich [mm]a[/mm] genannt. Vllt. gefällt dir x besser?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Sa 30.04.2011 | | Autor: | al3pou |
Achsoooooo^^. Jetzt verstehe ich das. Danke
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