Rekursive W-Formel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mo 30.10.2006 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Eine Münze wird geworfen. p=P(Kopf tritt auf) mit 0<p<1. Sei [mm] p_{n} [/mm] gerade die Wahrscheinlichkeit, dass unter den n ersten Würfen 'Kopf' gerade oft auftritt. Hierfür sei [mm] p_{0}=1.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Rekursion [mm] p_{n}=P(1-p_{n-1})+(1-p)p_{n-1}. [/mm] |
Aloa zusammen,
Die Aufgabe bereitet mir nun schon doch etwas Kopfzerbrechen. Es ist auf jeden Fall klar, dass ich eine Fallunterscheidung vornehmen muss - je nachdem ob n gerade oder ungerade ist.
Wenn n gerade ist, sind die möglichen geraden Anzahlen von 'Kopf' ja gerade 0, 2, ..., n.
Wenn n ungerade ist, sind die möglichen geraden Kopf-Anzahlen ja 0, 2, ..., n-1.
Irgendwie erinner mich die Formel an jene einer Binominial-Verteilung (also Bernoulli-Raum als Grundraum). Allerdings stehe ich, bei dem Rest auf dem Schlauch.
Ich hoffe, dass vielleicht jemandem ein ähnliches Problem bekannt ist - bin für jeden Hinweis dankbar.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiter rätseln geht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Mo 30.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo laryllan,
bezeichne [mm] $G_n$ [/mm] das Ereignis, dass unter den ersten $n$ Wuerfen eine
gerade Anzahl von Koepfen erscheint. Es ist [mm] $p_n=P(G_n)$ [/mm] zu bestimmen.
Das Ereignis [mm] $G_n$ [/mm] kann auf zwei sich gegenseitig ausschliessenden Weisen
auftreten: $A$: Entweder Kopf im $n$-ten Wurf und [mm] $G_{n-1}$ [/mm] tritt nicht
ein oder $B$: Wappen im $n$-ten Wurf und [mm] $G_{n-1}$ [/mm] tritt ein. Wegen der
Unabhaengigkeit der Wuerfe ist [mm] $P(A)=p(1-p_{n-1})$ [/mm] und [mm] $P(B)=(1-p)p_{n-1}$.
[/mm]
Addition der beiden Wahrscheinlichkeiten liefert die Behauptung.
hth
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Di 31.10.2006 | | Autor: | laryllan |
Args... vielen Dank!
Das ist ja wahrlich von hinten durch die Brust ins Auge - aber wie immer in der Mathematik: logisch.
Werde dann mal die rekursive Form in die explizite umrechnen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich wieder an MatLab ranmacht
|
|
|
|
