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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Relation
Relation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Relation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Di 06.03.2007
Autor: Wehm

Aufgabe
Bei welchen der folgenden Relationen [mm] R_i [/mm] handelt es sich um eine Ordnung auf A = {1,2,3}?

[mm] $R_1 [/mm] := [mm] \{(1,1),(1,2),(2,2)\}$ [/mm]

[mm] $R_2 [/mm] := [mm] \{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}$ [/mm]

[mm] $R_3 [/mm] := [mm] \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3))\}$ [/mm]

[mm] $R_4 [/mm] := [mm] \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\}$ [/mm]

Guten Abend!!

Wie kann ich das jetzt überprüfen?

Eine Ordnung ist ja definiert durch reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Und wie weise ich das jetzt rein rechnerisch nach?

Bei [mm] R_1 [/mm] mal mein Ansatz

reflexiv
1R1 ja
2R2 ja
1R2 aber nicht?

antisymmetrisch
1R2 ja
1R1 nein
2R2 nein

transitiv
1R2, 2R3, 1R3, aber da es keine 3 gibt, geht das wohl nicht.

Bitte rechnet mir das mal vor ich verstehe es einfach nicht so ganz ohne Beispiel :(

Gruß, Wehm

        
Bezug
Relation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Mi 07.03.2007
Autor: Ankh


> Bei welchen der folgenden Relationen [mm]R_i[/mm] handelt es sich um
> eine Ordnung auf A = {1,2,3}?
>  
> [mm]R_1 := \{(1,1),(1,2),(2,2)\}[/mm]

ist nicht reflexiv, da (3,3) fehlt! also keine Ordnung über {1,2,3}, sondern höchstens über {1,2}.

> [mm]R_2 := \{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}[/mm]

- ist reflexiv, da (1,1), (2,2) und (3,3) enthalten sind
- ist antisymmetrisch, weil für alle (x,y), (y,x) in [mm] R_2 [/mm] gilt: x=y
- ist nicht transitiv, da zwar (1,2) und (2,3) enthalten sind, aber nicht (1,3) [mm] \Rightarrow [/mm] keine Ordnung!
  

> [mm]R_3 := \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3))\}[/mm]

Das Gleiche, nur diesmal mit Transitivität, (1,3) [mm] \in R_3 [/mm] , also eine Ordnung!

> [mm]R_4 := \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\}[/mm]

  
ist reflexiv und transitiv, aber nicht antisymmetrisch, da (1,2) und (2,1) enthalten, aber [mm] 1\not=2. \Rightarrow [/mm] keine Ordnung!

Bezug
                
Bezug
Relation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Mi 07.03.2007
Autor: Wehm

Hallo Ankh!

Danke für deinen zeitaufwand. der hat mir persönlich viel gebracht.

Ganz liebe Grüße, Wehm


Bezug
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