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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 So 24.02.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Moin.Ich bin gerad am büffeln und wollt mal nachfragen,ob ich richtig gerechnet habe.
Aufgabe:
a) Gegeben sei die Relation [mm] R=\{(x,y) | 1\ge |x-y| \}\subseteq \IR [/mm] * [mm] \IR.Untersuchen [/mm] Sie R auf Reflexivität,Symetrie und Transivität.Ist t: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] y genau dann wenn (x,y) [mm] \in [/mm] R eine Abbildung ?
b) Gegeben seiein die Mengen [mm] M_1=\{6,7,8\},M_2=\{6,7,8,9\} [/mm] und die Abbildungen:
f: [mm] M_1 \to M_2 [/mm] ,f(j)=j+1
[mm] g:M_2 \to M_1,f(j)=\begin{cases} 6, & \mbox{für } j= \mbox{ 6} \\ j-1, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases}.
[/mm]
Geben Sie f o g , g o f explizit an, und untersuchen sie f,g,f o g, g o f auf injektivität und Surjektivität. |
Mein Lösungsweg:
a)
Reflexivität : xRx
[mm] \{(x,x) | 1\ge |x-x| \} [/mm] (da [mm] 1\ge [/mm] 0 erfüllt)
Symetrie: xRy [mm] \to [/mm] yRx
[mm] 1\ge [/mm] |x-y| [mm] \to 1\ge [/mm] |y-x| (aufgrund des Betrages )
Transitivität: xRx [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \to [/mm] xRz
[mm] 1\ge [/mm] |x-y| [mm] \wedge 1\ge [/mm] |y-z| [mm] \to 1\ge [/mm] |x-y+y-z|= [mm] 1\ge [/mm] |x-z|= xRz
Def.Abbildung : Eine Abb. ist eine Vorschrift die zu jedem x [mm] \in [/mm] X ein y [mm] \in [/mm] Y zuordnet.
t: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] y [mm] \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] R eine Abbildung ?
"=>" f(x)=y => (x,y) [mm] \in [/mm] R (scheint erfüllt zu sein ? )
"<=´" (x,y) [mm] \in [/mm] R => f(x)=y (nicht erfüllt z.B für x=1 und y=7).=> ist keine Abbildung für <=> Beziehung.
b)
f o g= [mm] M_1 \to M_2 \to M_1 [/mm] (d.h [mm] M_1 \to M_1):
[/mm]
6 [mm] \to [/mm] 7 [mm] \to [/mm] 6
7 [mm] \to [/mm] 8 [mm] \to [/mm] 7
8 [mm] \to [/mm] 9 [mm] \to [/mm] 8 => f o g= (6,7,8)
da f(g(6))=6 [mm] \not= [/mm] f(g(7))=7 [mm] \not= [/mm] f(g(8))=8 => Injektiv und surjektiv (bijektiv)
=> f ist auch bijektiv
g o f = [mm] M_2 \to M_1 \to M_2 [/mm] (d.h [mm] M_1 \to M_2):
[/mm]
6 [mm] \to [/mm] 6 [mm] \to [/mm] 7
7 [mm] \to [/mm] 6 [mm] \to [/mm] 7
8 [mm] \to [/mm] 7 [mm] \to [/mm] 8
9 [mm] \to 8\to [/mm] 9=> g o f=(7,7,8,9)
da g(f(6))=6 = g(f(7))=6 (u. g(f(8))=8 u. g(f(9)=9) => nicht injektiv aber Surjektiv
=> g ist auch nicht injektiv aber Surjektiv
Danke schonmal im vorraus
matheja
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> Moin.Ich bin gerad am büffeln und wollt mal nachfragen,ob
> ich richtig gerechnet habe.
>
> Aufgabe:
> a) Gegeben sei die Relation [mm]R=\{(x,y) | 1\ge |x-y| \}\subseteq \IR[/mm]
> * [mm]\IR.Untersuchen[/mm] Sie R auf Reflexivität,Symetrie und
> Transivität.Ist t: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\to[/mm] y genau dann wenn
> (x,y) [mm]\in[/mm] R eine Abbildung ?
>
> b) Gegeben seiein die Mengen [mm]M_1=\{6,7,8\},M_2=\{6,7,8,9\}[/mm]
> und die Abbildungen:
> f: [mm]M_1 \to M_2[/mm] ,f(j)=j+1
> [mm]g:M_2 \to M_1,f(j)=\begin{cases} 6, & \mbox{für } j= \mbox{ 6} \\ j-1, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases}.[/mm]
>
> Geben Sie f o g , g o f explizit an, und untersuchen sie
> f,g,f o g, g o f auf injektivität und Surjektivität.
> Mein Lösungsweg:
>
> a)
> Reflexivität : xRx
> [mm]\{(x,x) | 1\ge |x-x| \}[/mm] (da [mm]1\ge[/mm] 0 erfüllt)
> Symetrie: xRy [mm]\to[/mm] yRx
> [mm]1\ge[/mm] |x-y| [mm]\to 1\ge[/mm] |y-x| (aufgrund des Betrages )
> Transitivität: xRx [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\to[/mm] xRz
> [mm]1\ge[/mm] |x-y| [mm]\wedge 1\ge[/mm] |y-z| [mm]\to 1\ge[/mm] |x-y+y-z|= [mm]1\ge[/mm]
> |x-z|= xRz
>
Hey
Deine Transitivität stimmt nicht. Setze x:=0 y:= 1/2 z:=3/2.
Dann ist |x-y|=|0-1/2|=1/2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|y-z|=|1/2-3/2|=1
aber
|x-z|=|0-3/2|=3/2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 So 24.02.2008 | | Autor: | matheja |
Danke Mathias.
Gut das du mich darauf aufmerksam gemacht hast
lg
matheja
Ps: Hat sich b) hat sich erledigt
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Hallo.
Erstmal zur Notation: [mm]f \circ g[/mm] bedeutet, dass man zuerst g und dann f ausführt (manchmal als "f nach g" gelesen), also hier [mm]f \circ g: M_2 \to M_2[/mm] und [mm]g \circ f: M_1 \to M_1[/mm].
Zu deiner ersten Rechnung: [mm]g \circ f[/mm] (bei dir [mm]f \circ g[/mm]) hast du richtig berechnet. Es ist die Identität auf [mm]M_1[/mm], also bijektiv, d.h. injektiv und surjektiv. Daraus folgt, dass f injektiv und g surjektiv ist (kann man natürlich auch direkt sehen). f ist aber nicht surjektiv, denn [mm]f(j) \neq 6[/mm] für [mm]j \in M_1[/mm].
Zu deiner zweiten Rechnung: Auch [mm]f \circ g[/mm] (bei dir [mm]g \circ f[/mm]) ist richtig berechnet. Du stellst korrekterweise fest, dass die Abbildung nicht injektiv ist. Sie ist aber auch nicht surjektiv, denn auch hier wird 6 nicht als Wert angenommen. g ist tatsächlich nicht injektiv ([mm]g(6)=6=g(7)[/mm]), aber surjektiv. Das kann man allerdings nicht aus den entsprechenden Eigenschaften von [mm]f \circ g[/mm] folgern.
Viele Grüße,
Matthias.
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