Relation bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Mi 04.01.2006 | | Autor: | heine789 |
| Aufgabe | Auf der Menge Z der ganzen Zahlenwerde eine binäre Relation R erklärt durch
xRy : <-> Es existiert min. ein k Element Z: x + x*y = 2k,
d.h. x + x*y ist eine gerade Zahl.
Zeigen Sie, dass R reflexivund transitiv ist. Ist R auch symmetrisch? |
Hallo zusammen!
Habe obige Aufgabe so gelöst:
reflexiv:
x + x*y = x + x²
x(1 + y) = x(1 + x)
1 + y = 1 + x
y = x
transitiv:
x + x*y = 2k
y + y*z = 2k
-> x + x*z = 2k
Da x = y: y + y*z = 2k -> x + x*z = 2k
symmetrisch:
x + x*y = y + y*x
Da x = y, mit y = x ->
x + x² = x + x²
Kann mir jemand bestätigen ob der Beweis so richtig ist oder ob ich Blödsinn gemacht habe?
Vielen Dank!
Gruß heine
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Hallo,
> Auf der Menge Z der ganzen Zahlenwerde eine binäre Relation
> R erklärt durch
> xRy : <-> Es existiert min. ein k Element Z: x + x*y =
> 2k,
> d.h. x + x*y ist eine gerade Zahl.
> Zeigen Sie, dass R reflexivund transitiv ist. Ist R auch
> symmetrisch?
> Hallo zusammen!
>
> Habe obige Aufgabe so gelöst:
>
> reflexiv:
>
> x + x*y = x + x²
> x(1 + y) = x(1 + x)
> 1 + y = 1 + x
> y = x
das schaut schon komisch aus mit der Reflexivitaet.
Du musst zeigen, dass jedes Paar [mm] (x,x)\in\IZ [/mm] Element von R ist, d.h.
per def. dass x + [mm] x\cdot [/mm] x gerade ist.
Du hast es so geschrieben, als ob Du aus irgendwas folgern taetest, dass x=y ist.
>
> transitiv:
>
> x + x*y = 2k
> y + y*z = 2k
> -> x + x*z = 2k
>
> Da x = y: y + y*z = 2k -> x + x*z = 2k
>
Hier solltest Du zwei verschiedene k's nehmen, zB
[mm] x+x\cdot y=2k_1,
[/mm]
[mm] y+y\cdot [/mm] z [mm] =2k_2
[/mm]
und dann weiterarbeiten.
> symmetrisch:
>
> x + x*y = y + y*x
>
> Da x = y, mit y = x ->
>
> x + x² = x + x²
>
Nein ! Zu untersuchen ist, ob aus [mm] (x,y)\in [/mm] R stets auch [mm] (y,x)\in [/mm] R folgt.
Schreib Dir am besten fuer beides die Def. hin und pruefe dann, ob das letztere aus dem
ersteren folgt.
Viel Erfolg und Gruss,
Mathias
> Kann mir jemand bestätigen ob der Beweis so richtig ist
> oder ob ich Blödsinn gemacht habe?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß heine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mi 04.01.2006 | | Autor: | heine789 |
Danke mal für die schnelle Antwort.
Leider weiß ich nicht mit deinem Ansatz weiterzurechnen.
Wie würdest du denn konkret zeigen, dass die Relation reflexiv ist?
Laut Def. ist doch x + x*y gerade. Also setzt ich es gleich mit x + x² um zu prüfen ob da was Wahres rauskommt. Als Ergebnis erhalte ich y = x.
Wäre damit nicht gezeigt das auch x + x² gerade ist?
Wäre dankbar für etwas mehr Hilfe wenn ich auf dem Holzweg bin.
Gruß heine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo heine,
> Danke mal für die schnelle Antwort.
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> Leider weiß ich nicht mit deinem Ansatz weiterzurechnen.
>
> Wie würdest du denn konkret zeigen, dass die Relation
> reflexiv ist?
>
> Laut Def. ist doch x + x*y gerade.
Vorsicht! In der Definition steht, dass xRy genau dann, wenn [mm] x + x \cdot y [/mm] gerade.
Für die Reflexivität musst du jetzt zeigen, dass für jedes Element [mm] x \in \IZ [/mm] gilt : xRx , das heißt, du musst für jedes [mm] x \in \IZ [/mm] gilt: [mm] x + x \cdot x [/mm] gerade.
Das machst du recht einfach durch eine Fallunterscheidung.
Fall1: x gerade $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x [mm] \cdot [/mm] x gerade.
Da die Summe zweier gerader Zahlen gerade ist, ist also [mm] x + x \cdot x [/mm]
Fall2: x ungerade schaffst du sicher alleine.
> Also setzt ich es gleich
> mit x + x² um zu prüfen ob da was Wahres rauskommt. Als
> Ergebnis erhalte ich y = x.
Ist das was Wahres?
> Wäre damit nicht gezeigt das auch x + x² gerade ist?
Du zeigst doch nur, dass aus [mm] x + x \cdot y = x + x \cdot x [/mm] folgt [mm] x = y [/mm] und zwar unabhängig davon, ob xRy oder nicht.
Jetzt etwas klarer? Sonst melde dich ruhig wieder.
Gruß
Sigrid
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> Wäre dankbar für etwas mehr Hilfe wenn ich auf dem Holzweg
> bin.
>
> Gruß heine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Fr 06.01.2006 | | Autor: | heine789 |
Danke für die Hilfe.
MfG heine
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