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| Aufgabe | | Sei [mm]R \subseteq[/mm] [mm] \IZ[/mm] x [mm] \IZ[/mm]. R ist definiert durch R(x, y) <=> x - y gerade. |
Hallo,
Ich soll nun auf Reflexivität, Symmetrie, Transitivitat und Antisymmetrie prüfen.
Reflexivität:
Wenn R reflexiv ist, dann gilt [mm]\forall x \in \IZ: (x, x) \in \IZ[/mm].
(x,x) ∈ R heißt x - x ist gerade und da für alle x ∈ Z gilt: x - x = 0, gilt dies.
Symmetrie:
[mm]\forall x, y \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R dann auch (x,z) ∈ R!
Transitivitat:
[mm]\forall x, y, z \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,z) ∈ R dann auch (x,z) ∈ R!
Also, ist x - y gerade und ist auch y - z gerade, dann muss auch x - z gerade sein!
Falls x und y gerade:
y - z ist gerade und y ist gerade => z ist gerade.
Also ist x und z gerade => x - y ist gerade.
Falls x und y ungerade:
Also ist y - z gerade und y ist ungerade => z ist ungerade.
Also ist x und z ungerade => x - z ist gerade.
Antisymmetrie:
[mm]\forall x, y \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R dann x=y.
Gegenbeispiel:
(1,5) ∈ R und (5,1) ∈ R aber nicht (1 = 5)
Also ist R nicht antisymmetrisch.
Würde das soweit passen? ODer gibt es Verbesserungsvorschläge? Beim Zeigen der Symmetrie bin ich mir etwas unsicher. Danke!
Gruß Ptolemaios
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> Sei [mm]R \subseteq[/mm] [mm] \IZ[/mm] x [mm] \IZ[/mm]. R ist definiert durch
> R(x, y) <=> x - y gerade.
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> Hallo,
>
> Ich soll nun auf Reflexivität, Symmetrie, Transitivität
> und Antisymmetrie prüfen.
>
> Reflexivität:
> Wenn R reflexiv ist, dann gilt [mm]\forall x \in \IZ: (x, x) \in \IZ[/mm]. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
1.) Hinten hast du ein " [mm] \IZ [/mm] " anstatt ein " R " geschrieben.
2.) Dies würde zwar stimmen (falls richtig geschrieben),
aber es geht hier gar nicht um diese Implikation, sondern
um die Definition:
"Eine Relation R ist (genau dann) reflexiv, falls ..... "
> (x,x) [mm] \in [/mm] R heißt x - x ist gerade und da für alle x [mm] \in\IZ [/mm] gilt:
> x - x = 0, gilt dies.
(... weil 0 eine gerade Zahl ist : schreib dies hin !)
>
> Symmetrie:
> [mm]\forall x, y \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R
> dann auch (x,z) ∈ R! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Schau dir die Definition der Symmetrie nochmals genau
an. Und was soll hier ein z noch zu suchen haben ?
> Transitivität:
> [mm]\forall x, y, z \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,z) ∈
> R dann auch (x,z) ∈ R!
> Also, ist x - y gerade und ist auch y - z gerade, dann
> muss auch x - z gerade sein!
Du sollst nicht erklären, was da sein "müsste" - sondern
du sollst beweisen, dass x-z gerade ist, falls sowohl x-y
als auch y-z gerade sind.
> Falls x und y gerade:
> y - z ist gerade und y ist gerade => z ist gerade.
> Also ist x und z gerade => x - y ist gerade.
>
> Falls x und y ungerade:
> Also ist y - z gerade und y ist ungerade => z ist
> ungerade.
> Also ist x und z ungerade => x - z ist gerade.
Anstatt hier diverse Fälle zu unterscheiden (hast du
alle ??), könntest du hier viel eleganter argumentieren,
indem du z.B. die Aussage $\ [mm] (x,y)\in [/mm] R$ formulieren würdest
als $\ x-y=2*k$ (wobei [mm] k\in\IZ) [/mm] , etc.
> Antisymmetrie:
> [mm]\forall x, y \in \IZ[/mm]: Wenn (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R
> dann x=y.
> Gegenbeispiel:
> (1,5) ∈ R und (5,1) ∈ R aber nicht (1 = 5)
>
> Also ist R nicht antisymmetrisch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Diesen Nachweis mittels Gegenbeispiel kann man gelten
lassen.
LG , Al-Chw.
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| Aufgabe | <br>
Hi Al-Chwarizmi |
Hi Al-Chwarizmi,
danke für deine schnelle Antwort.
Zur Symmetrie: R ist symmetrisch, wenn (x, y) = (y, x) dann auch (y, x) = (x, y). Das trifft hier meiner Ansicht nach zu, aber wie beweise ich das formal? Ein Beispiel reicht ja nicht...
Zur Transitivtät: 2k ist gerade, darauf willst du hinaus, oder? Aber ich kann deine Idee nicht vervollständigen :(
Danke!
Gruß Ptolemaios
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> Zur Symmetrie: R ist symmetrisch, wenn (x, y) = (y, x)
> dann auch (y, x) = (x, y).
sorry, aber das ist doch Unsinn.
Auch ganz ohne irgendwelche Relation im Visier
zu haben, können wir doch getrost behaupten:
"Wenn (x,y)=(y,x) , dann ist auch (y,x)=(x,y) !"
Und warum ? Weil die Gleichheit kommutativ ist !
Hier geht es um Folgendes: es ist zu zeigen, dass aus
[mm] (x,y)\in [/mm] R folgt, dass auch [mm] (y,x)\in [/mm] R
Ausgedeutscht für die vorliegende Relation R:
"Wenn für 2 ganze Zahlen x und y die Differenz x-y
geradzahlig ist, so ist auch y-x geradzahlig."
Beweis: Falls x-y geradzahlig ist, können wir
schreiben: x-y=2*k (mit einem gewissen [mm] k\in\IZ).
[/mm]
Dann folgt y-x=-2*k=2*(-k)=2*n (mit [mm] n:=-k\in\IZ).
[/mm]
Also ist auch y-x gerade und damit [mm] (y,x)\in [/mm] R
> Zur Transitivtät: 2k ist gerade, darauf willst du hinaus,
> oder? Aber ich kann deine Idee nicht vervollständigen :(
Falls [mm] (x,y)\in [/mm] R , folgt x-y=2k mit einem ganzzahligen k.
Analog: falls [mm] (y,z)\in [/mm] R , ist y-z=2m mit [mm] m\in\IZ [/mm]
Ist beides erfüllt, so folgt:
x-z = ........ (mittels k und m ausdrücken und dann
Schlussfolgerungen ziehen, um darzulegen, dass auch
[mm] (x,z)\in [/mm] R gelten muss !)
LG , Al-Chw.
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Danke jetzt habe ich deine Idee nachvollziehen können 
Ich würde nun so abschließen: Die beiden Gleichungen x-y=2k und y-z=2m in x-z einsetzen. Daraus ergibt sich: x-z = 2k + 2m = 2*2n mit n ganzzahlig. Dadurch ist auch x-z gerade und dadurch in R enthalten.
Passt das?
Danke!
Gruß Ptolemaios
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Hallo,
> Danke jetzt habe ich deine Idee nachvollziehen können
> Ich würde nun so abschließen: Die beiden Gleichungen
> x-y=2k und y-z=2m in x-z einsetzen. Daraus ergibt sich:
> x-z = 2k + 2m = 2*2n mit n ganzzahlig. Dadurch ist auch x-z
> gerade und dadurch in R enthalten.
> Passt das?
Das passt schon, aber IMO brauchst du keine weitere Variable einführen:
x-z=x-y+y-z=2k+2m=2*(k+m)
und gut is.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 25.04.2013 | | Autor: | Ptolemaios |
Ich danke euch beiden für eure Hilfe, insbesondere Al-Chwarizmi für seine Geduld!
Gruß Ptolemaios
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