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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Fr 14.03.2014 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Prüfe ob die Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist:
R = {(x,y) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] | x-2 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x+2 } |
Könnte mir jemand die Beweise der Relationen für diese Beispielrelation zeigen ? Ich habe sie komplett falsch gemacht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Fr 14.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Ja, aber im Wechselspiel. Es geht los mit reflexiv. Was ist zu zeigen? Dann probiere es mit einem Beispiel aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 15.03.2014 | | Autor: | rsprsp |
Reflexiv = aRa = xRy,yRx denn x=y
also z.B. 2R2 denn 2-2=0 [mm] \le [/mm] 2 [mm] \le [/mm] 2+2=4 - stimmt
Symmetrisch = aRb und bRa = xRy und yRx
also z.B. 3R2 denn 3-2=1 [mm] \le [/mm] 2 [mm] \le [/mm] 3+2=5 und 2R3 denn 2-2=0 [mm] \le [/mm] 3 [mm] \le [/mm] 2+2=4 - stimmt
Antisymmetrisch = aRb und bRa und a=b = xRy und yRx und x=y
also z.B. 2R2 denn 2-2=0 [mm] \le [/mm] 2 [mm] \le [/mm] 2+2=4 und 2=2
Transitiv = aRb und bRc denn aRc
also z.B. 2R3 und 2R4 dann 3R4 => denn 3-2=1 [mm] \le [/mm] 4 [mm] \le [/mm] 3+2=5
Ich weiß immernoch nicht wie ich es beweisen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Sa 15.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> Reflexiv = aRa = xRy,yRx denn x=y
> also z.B. 2R2 denn 2-2=0 [mm]\le[/mm] 2 [mm]\le[/mm] 2+2=4 - stimmt
Nun musst Du das nur noch allgemein hin schreiben. Sei $x [mm] \in \IN$ [/mm] ...
Dann gilt $x - 2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] x+2$. Dort wo Du vorher die 2 als Beispiel eingesetzt hattest, steht nun eben x.
>
> Symmetrisch = aRb und bRa = xRy und yRx
> also z.B. 3R2 denn 3-2=1 [mm]\le[/mm] 2 [mm]\le[/mm] 3+2=5 und 2R3 denn
> 2-2=0 [mm]\le[/mm] 3 [mm]\le[/mm] 2+2=4 - stimmt
Jetzt musst Du anfangen: Seien $x, y [mm] \in \IN$ [/mm] und $x-2 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x+2$.
Daraus musst Du nun folgern, dass $y-2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y+2$ gilt. Zerlege die Voraussetzung in zwei Teile und forme diese leicht um.
>
> Antisymmetrisch = aRb und bRa und a=b = xRy und yRx und
> x=y
Formuliere die Bedinungung der Antisymmetrie exakt.
> also z.B. 2R2 denn 2-2=0 [mm]\le[/mm] 2 [mm]\le[/mm] 2+2=4 und 2=2
Da such mal ein Gegenbeispiel. Das hast Du schon.
>
> Transitiv = aRb und bRc denn aRc
> also z.B. 2R3 und 2R4 dann 3R4 => denn 3-2=1 [mm]\le[/mm] 4 [mm]\le[/mm]
> 3+2=5
Spiel mal ein wenig herum. Meinst Du, dass die Relation transitiv ist, oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 16.03.2014 | | Autor: | rsprsp |
Sie haben mich gerade erinnert, dass man bei der reflexivität statt dem y ein x einsetzen kann und bei symmetrie x und y vertauscht werden. Danke.
Reflexiv x - 2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] x+2 ist logisch bewiesen.
Symmetrisch y-2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y+2 also y-2 [mm] \le [/mm] x und x [mm] \le [/mm] y+2
damit ist y [mm] \le [/mm] x+2 und x-2 [mm] \le [/mm] y und es ist zusammen die selbe Gleichung wie oben ( x - 2 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x+2 )
kann man das so beweisen ?
Antisymmetrisch ggn Bsp.: 3R2 denn 3-2=1 [mm] \le [/mm] 2 [mm] \le [/mm] 3+2=5 und 2R3 denn 2-2=0 [mm] \le [/mm] 3 [mm] \le [/mm] 2+2=4 und 2 [mm] \not= [/mm] 3 , damit nicht antisymmetrisch
Bei transitiv ist ein bisschen schwierig. Ich weiß, dass x und y sich um max 2 unterscheidet. Somit habe ich versucht mit 2R4 , 4R6 und dann mit 2R6. Ist das Gegenbeispiel richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 16.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sie haben mich gerade erinnert, dass man bei der
ich glaube, wir können hier immer beim "Du" bleiben!
> reflexivität statt dem y ein x einsetzen kann und bei
> symmetrie x und y vertauscht werden. Danke.
>
> Reflexiv x - 2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] x+2 ist logisch bewiesen.
Nein, auch, wenn es trivial ist: Folgere die Behauptung aus der offensichtlich
wahren Aussage
$-2 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le 2\,.$
[/mm]
(Wobei ich Deinen Satz auch akzeptieren würde - aber das ist noch nicht
das elementar möglichste!)
> Symmetrisch y-2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] y+2 also y-2 [mm]\le[/mm] x und x [mm]\le[/mm] y+2
> damit ist y [mm]\le[/mm] x+2 und x-2 [mm]\le[/mm] y und es ist zusammen die
> selbe
Un-
> Gleichung
(Eigenlich: UngleichungsKETTE!)
> wie oben ( x - 2 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] x+2 )
> kann man das so beweisen ?
Ähm: Du musst schon ein paar Sätze dazusagen. Und das, was Du als
"die selbe" Ungleichungskette bezeichnen willst, bedeutet eigentlich, dass
diese Ungleichungsketten (sogar) äquivalent sind (die Äquivalenz brauchst
Du im Beweis eigentlich nicht - es reicht, wenn Du das, was Du brauchst, aus
den Voraussetzungen folgern kannst!).
Also so kannst Du das bspw. sauber aufschreiben:
Sei
$(x,y) [mm] \in R\,,$
[/mm]
also gilt (nach Voraussetzung)
Va) $x,y [mm] \in \IN$ [/mm] und Vb) $x-2 [mm] \le [/mm] y [mm] \le x+2\,.$
[/mm]
Wir wollen nun prüfen, ob dann auch
$(y,x) [mm] \in [/mm] R$
gilt, d.h. es ist zu zeigen ("Ziel"):
Za) $y,x [mm] \in \IN$ [/mm] mit Zb) $y-2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le y+2\,.$
[/mm]
Za) ist nach Voraussetzung Va) klar.
Zu Zb): Nach Voraussetzung Vb) gilt
$y [mm] \le x+2\,,$
[/mm]
daraus folgt
I) $y-2 [mm] \le x\,.$
[/mm]
Ferner gilt nach Vb) auch
$x-2 [mm] \le [/mm] y,$
daraus folgt
II) $x [mm] \le y+2\,.$
[/mm]
I) und II) zusammen bedeuten nichts anderes als
$y-2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le y+2\,,$
[/mm]
also Zb). Daraus folgt $(y,x) [mm] \in [/mm] R$ per Definitionem von [mm] $R\,.$
[/mm]
> Antisymmetrisch ggn Bsp.: 3R2 denn 3-2=1 [mm]\le[/mm] 2 [mm]\le[/mm]
> 3+2=5 und 2R3 denn 2-2=0 [mm]\le[/mm] 3 [mm]\le[/mm] 2+2=4 und 2 [mm]\not=[/mm] 3
> , damit nicht antisymmetrisch
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei transitiv ist ein bisschen schwierig. Ich weiß, dass x
> und y sich um max 2 unterscheidet. Somit habe ich versucht
> mit 2R4 , 4R6 und dann mit 2R6. Ist das Gegenbeispiel
> richtig ?
Naja:
[mm] $2R4\,$ [/mm] (bzw. $(2,4) [mm] \in [/mm] R$) wegen $0=2-2 [mm] \le [/mm] 4 [mm] \le [/mm] 4=2+2$ passt.
(Allg.: [mm] $xR(x+2)\,$ [/mm] gilt wegen $x-2 [mm] \le [/mm] x+2 [mm] \le [/mm] x+2$ für $x [mm] \in \IN$ [/mm] hier immer.)
Ebenso
[mm] $4R6\,$ [/mm] passt (siehe Klammer).
Und wäre [mm] $R\,$ [/mm] transitiv, so müßte nun
[mm] $2R\,6$
[/mm]
gelten - aber es ist zwar
$2-2=0 [mm] \le 6\,,$
[/mm]
jedoch [mm] $\textbf{\red{nicht}}$
[/mm]
$6 [mm] \le 2+2=4\,.$
[/mm]
Also:
Gruß,
Marcel
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