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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 26.06.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | Auf [mm] \IR [/mm] seien die Relationen R,S folgendermaßen definiert:
[mm] xRy:\gdw [/mm] x - y [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] xSy:\gdw [/mm] x + y [mm] \in \IZ
[/mm]
Prüfen Sie für die Relationen R,S, ob sie reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch sind. |
Hallo,
Bei dieser Aufgabe habe ich folgende Probleme,
1. Was ist eine Relation?
2. a) Was ist reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch?
b) Was sind ihre Eigenschaften?
Da ich das nicht weiß, hab ich keine Ahnung,wie ich an diese Aufgabe rangehen soll
Vielen Dank für Tipps und Hilfe..
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Di 26.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
![[]](/images/popup.gif) KLICK
Hilft dir das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 26.06.2007 | | Autor: | annklo |
Da hatte ich auch geguckt- kann man die Schreibweise aus meiner Aufgabe irgendwie umschreiben? - von der steht da nämlich leider nichts.
Und deshalb konnte ich nicht sehr viel damit anfangen..
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Hallo annklo!
> Da hatte ich auch geguckt- kann man die Schreibweise aus
> meiner Aufgabe irgendwie umschreiben? - von der steht da
> nämlich leider nichts.
> Und deshalb konnte ich nicht sehr viel damit anfangen..
Ich schreib mal lieber die Eigenschaften um, bevor ich die Notation in Wikipedia suche... Aber hast du dazu eigentlich nichts in deinen Vorlesungsunterlagen???
Also deine erste Relation bedeutet: x steht in Relation zu y genau dann, wenn die Differenz zwischen x und y eine ganze Zahl ist.
Reflexiv bedeutet nun, dass x in Relation zu sich selbst steht, dass hier also die Differenz zwischen x und x eine ganze Zahl ist. Naja, das ist ja schnell gezeigt. 
Symmetrisch bedeutet, dass wenn x in Relation zu y steht, dann auch y in Relation zu x steht. In diesem Fall hier also, dass wenn x-y eine ganze Zahl ist, dann auch y-x eine ganze Zahl ist. Das ist auch nicht schwierig zu zeigen. 
Transitiv bedeutet, dass wenn x und y in Relation stehen und außerdem y und z in Relation stehen, dann auch x und z in Relation stehen. Hier muss also gelten, wenn die Differenz zwischen x und y eine ganze Zahl ist und auch die zwischen y und z, dann muss auch die Differenz zwischen x und z eine ganze Zahl sein. Da muss man ein kleines bisschen mehr machen, ist aber, denke ich, auch nicht schwierig.
Schaffst du das nun?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
wie zeigt man denn dass etwas eine ganze Zahl ist? bei x-x ist es ja klar,weil es null ist und bei x-y ist es vorrausgesetzt aber wie beweist man es zb für y-x oder y-z?
danke
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> wie zeigt man denn dass etwas eine ganze Zahl ist? bei x-x
> ist es ja klar,weil es null ist und bei x-y ist es
> vorrausgesetzt aber wie beweist man es zb für y-x oder
> y-z?
Hallo,
wenn x-y [mm] \in \IZ, [/mm] dann ist y-x=-(x-y). Daß [mm] -(x-y)\in \IZ [/mm] ist, kann man mit der Gruppeneigenschaft begründen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
alles klar danke, hab ich verstanden und wie macht man das mit z, da es dafür ja noch gar keine vorraussetzung gibt- wie zeige ich, dass x-y [mm] \wedge [/mm] y-z [mm] \Rightarrow [/mm] x-z [mm] \in \IZ [/mm] ?
durch das umformen komme ich auf x-z
x-y => x=y also x-z aber wie zeige ich,dass es in [mm] \IZ [/mm] liegt oder nicht
danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
eins habe ich noch vergessen
bei der antisymmetrie muss ich ja zeigen das xRy [mm] \wedge [/mm] yRx [mm] \Rightarrow [/mm] x=y was genau muss ich machen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
und wie zeige ich bei S das x+x [mm] \n \IZ?
[/mm]
treffen transitiv und antisymmetrisch bei S überhaupt zu? Die gleichung stimmt dich nichteinmal oder?
danke
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> und wie zeige ich bei S das x+x [mm]\in \IZ?[/mm]
> treffen transitiv
> und antisymmetrisch bei S überhaupt zu? Die gleichung
> stimmt dich nichteinmal oder?
Wenn Du ein Gegenbeispiel findest, hat die Relation diese Eigenschaft eben nicht.
Gruß v. Angela
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> eins habe ich noch vergessen
> bei der antisymmetrie muss ich ja zeigen das xRy [mm]\wedge[/mm]
> yRx [mm]\Rightarrow[/mm] x=y was genau muss ich machen?
Dir zunächst überlegen, ob Du beweisen oder widerlegen möchtest, daß die Relation antisymmetrisch ist. So etwas bekommt man mitunter empirisch (Zahlen einsetzen) heraus.
Gruß v. Angela
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> durch das umformen komme ich auf x-z
> x-y => x=y also x-z aber wie zeige ich,dass es in [mm]\IZ[/mm]
> liegt oder nicht
Tut mir leid, ich kann das nicht verstehen.
Kannst Du das entweder verständlich formulieren, oder besser (!) Deine Komplette Rechnung aufschreiben?
> durch das umformen
Welches Umformen?
> x-y => x=y
Wie kann aus einem Term eine Gleichung folgen?
Konstruktiver Vorschlag: überleg Dir mal, wie Du aus x-y und y-z Dein gesuchtes x-z "basteln" kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
ich dachte das hätte ich , indem ich x-y gleich 0 setze und somit x=y ist und ich dieses y in y-z einsetze , somit bekäme ich x-z ... sonst wüsste ich nichts udn wie zeige ich das es aus [mm] \IZ [/mm] ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
x und y sind aus [mm] \IR [/mm] oder?
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Ja.
Ein Blick in die Aufgabenstellung beantwortet das.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
wollte auch nur sicherheitshalber nachfragen, ob ich zumindest die richtig verstanden hab
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> ich dachte das hätte ich , indem ich x-y gleich 0 setze
Wo steht denn irgendetwas davon, daß das Ergebnis =0 sein soll?
Die Differenz von x und y soll aus [mm] \IZ [/mm] sein, und [mm] \IZ [/mm] besteht aus mehr als der Null.
Hast Du Dir inzwischen überlegt, wie Du x-z aus x-y und y-z bekommst?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
überlegt habe ich- aber jetzt komme ich auf keine lösung mehr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
wie könnte ich denn x-y und y-z zu x-z machen? ich habe keine ahnung.
und wie ich von x-y und y-x zu x=y kommen soll,weiß ich auch leider nicht
danke
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Hallo annklo,
du musst dir - wie Angela schon erwähnt hat - die Gruppeneigenschaften von [mm] (\IZ,+) [/mm] zunutze machen.
Insbesondere die Abgeschlossenheit bzgl. + und die Assoziativität
Das war jetzt der Wink mit dem ganzen Zaun
Wende das mal auf die Elemente (x-y) und (y-z) an....
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
kann ich statt des [mm] \wedge [/mm] auch einfach + schreiben? ich habe jetzt
x-y [mm] \wedge [/mm] y-z
(x-y)+(y-z)
-(x-y)-(y-z)
-x+y-y+z
-(x-z)
geht das so?
und wie komme ich auf x=y und was soll daran aus [mm] \IZ [/mm] sein?
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Hmmm, was genau machst du denn da? Ist das ne Gleichheitskette oder wie?
Ich versuch's mal, formal aufzuschreiben.
Du willst die Transitivität zeigen,
also dass aus xRy [mm] \wedge [/mm] yRz auch gefälligst folgt, dass xRz ist - und zwar für beliebige [mm] x,y,z\in\IR [/mm] (das ist ja die Grundmenge, auf der die Relation R definiert ist)
Also seien [mm] x,y,z\in\IR [/mm] mit xRy und yRz [mm] \gdw x-y\in\IZ [/mm] und [mm] y-z\in\IZ
[/mm]
(so ist ja die Relation R definiert)
Da [mm] (\IZ,+) [/mm] ne Gruppe ist, ist also [mm] (x-y)+(y-z)\in\IZ [/mm] - das ist die Abgeschlossenheit von [mm] \IZ [/mm] bzgl. +
Also [mm] x-y+y-z\in\IZ [/mm] - das ist die Assoziativität, dh. die Klammerung spielt keine Rolle
Nun sind y und -y additiv invers zueinander, dh y+(-y)=-y+y=0
Damit ist [mm] x-y+y-z=x-z\in\IZ
[/mm]
Und das heißt nichts anderes, als xRz nach Definition von R
OK?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 01.07.2007 | | Autor: | annklo |
ok! danke... und wie mach ich das bei der antisymmetrie? da steht ja xRy [mm] \wedge [/mm] yRx [mm] \Rightarrow [/mm] x=y was soll denn hier aus [mm] \IZ [/mm] sein? x und y sind ja nicht aus [mm] \IZ [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 01.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo annklo
ich glaub du stellst die unter den Sachen zuwenig vor. Versuch erst mal antisym. in Worten zu formulieren statt in Zeichen , da steht dann ein nur dann wenn im Satz.
2. überleg dann, wenn du symetrisch bewiesen hast, ob du dann antisymetrisch noch beweisen willst oder kannst.
Gruss leduart
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