Relationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Frage zu 2 Beispielen:
1.)A = B = [mm] \IN [/mm] \ 1
aRb [mm] \gdw [/mm] ggT(a,b) > 1
ist antisymmetrisch oder?
da wenn ich 2R2 [mm] \wedge [/mm] 2R2 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 = 2 ist
2.) A = B = [mm] \IZ [/mm] aRb : [mm] \gdw [/mm] 2 | a+b
Ist ebenfalls antisymmetrisch da wenn 2| 2 + 2 [mm] \wedge [/mm] 2| 2 + 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 = 2 ist oder?
|
|
| |
|
Hallo Reaper!
> 1.)A = B = [mm]\IN[/mm] \ 1
>
> aRb [mm]\gdw[/mm] ggT(a,b) > 1
>
> ist antisymmetrisch oder?
> da wenn ich 2R2 [mm]\wedge[/mm] 2R2 [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = 2 ist
Leider nein. Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn aus aRb und bRa a=b folgt für alle solchen a,b aus den betreffenden Mengen.
Konkret heißt das hier am Beispiel:
Es gilt: 2R4 und 4R2, denn ggT(4,2)=ggt(2,4)=2>1, aber [mm]4 \not= 2[/mm]
> 2.) A = B = [mm]\IZ[/mm] aRb : [mm]\gdw[/mm] 2 | a+b
>
> Ist ebenfalls antisymmetrisch da wenn 2| 2 + 2 [mm]\wedge[/mm] 2| 2
> + 2 [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = 2 ist oder?
Wiederum leider nein. Denn wenn a und b zwei gerade oder zwei ungerade Zahlen sind , dann gilt ja aRb, denn dann ist auch a+b gerade, d.h. 2 | a+b. Daraus folgt dann eben nicht, daß wenn aRb und bRa, a=b sein muß.
Im Gegentum, diese Relation ist sogar symmetrisch, denn falls a+b gerade ist, dann ist auch b+a gerade, das heißt aus bRa folgt aRb.
Ich hoffe, ich konnte ein wenig Licht in die Sache bringen,
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hach aber bei meinem Beispiel wo ich für a und b 2 genommen habe ist es doch richtig oder.
Ich blicke da noch nicht so ganz durch denn beim Beispiel:
A = B = [mm] \IZ
[/mm]
aRb [mm] \gdw [/mm] a² = b
ist ja auch antisymmetrisch und das gilt nur für Fälle falls a und b 1 oder 0 sind. Denn 2² = 4 und 4² != 2 gilt ja auch nicht als richtig. Also es gilt nicht für alle Fälle wie beim obigen Beispiel
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal.
Ganz langsam: Eine Relation ~ (man könnte sie potenziell auch R oder Bohnensuppe nennen...) heißt antisymmetrisch, wenn für alle a,b aus
a~b und b~a folgt: a=b.
Vielleicht macht es ein Beispiel deutlicher:
Sei nun unsere Menge die Menge der reellen Zahlen [mm]\IR[/mm].
Die Relation "[mm]\le[/mm]" auf [mm]\IR[/mm] ist antisymmetrisch,
denn (mit [mm]\le[/mm] ist wirklich das gemeint, was das Symbol besagt)
falls [mm]a \le b[/mm] gilt und gleichzeitig [mm]b \le a[/mm], so folgt daraus, daß dann a=b sein muß, also ist [mm]\le[/mm] antisymmetrisch.
> A = B = [mm]\IZ[/mm]
> aRb [mm]\gdw[/mm] a² = b
> ist ja auch antisymmetrisch
Ja... das bekommst Du aber nur so raus, indem Du annimmst, aRb und bRa, und das dann nach a und b auflöst. Wenn Du dann rausbekommst, daß a=b sein muß, dann ist die Relation antisymmetrisch.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Ja... das bekommst Du aber nur so raus, indem Du annimmst, aRb und bRa, und das dann nach a und b auflöst. Wenn Du dann rausbekommst, daß a=b sein muß, dann ist die Relation antisymmetrisch.
Was meinst du damit? Kannst du mir bitte deinen Gedankengang nochmals
erklären. Ich kenne die Definition und das alles aber trotzdem ist mir eigentlich noch immer nicht klar wieso man hier ein Beispiel findet wo Antisymmetrie stimmt und beim obigen Beispiel auch das eine aber nicht antisymmetrisch ist aber das andere schon.
|
|
|
| |
|
Hallo mal wieder.
Vielleicht schauen wir uns die Sache mal von der anderen Seite an:
Wann ist eine Relation ~ denn nicht antisymmetrisch?
- Eben genau dann nicht, wenn es ein Pärchen a,b mit [mm]a \not= b[/mm] gibt, für das [b]a~b und [mm] b~a[\b] [/mm] gilt.
Anderenfalls ist die Relation antisymmetrisch.
Wäre dir dankbar, wenn Du vielleicht präziser schreiben könntest, was Du daran nicht verstehst, dann kann ich dir gegebenenfalls auch noch andere Beispiele geben, die das vielleicht deutlicher machen.
Gruß,
Christian
|
|
|
|
