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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mo 06.12.2010 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Überprüfen sie auf Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität und Vollständigkeit:
A1 := {1,2,3,4}
R1 := {(1,1), (2,1), (3,4), (2,2), (3,3), (4,4), (4,1)} |
Hi Leute!
Ich hab hier ein großes Problem, bei Relationen zu Entscheiden wann eine solche Relation die oben genannten Eigenschaften aufweist. Wo ich mir allerdings 99,99% sicher bin, ist, dass die Relation definitiv reflexiv ist. Hierzu haben wir gelernt, dass alle Paare die in R1 enthalten sind auf auf einer Winkelhalbierenden liegen, was sie hier tun!
Bei den anderen Eigenschaften komm ich aber gar nicht vorwärts. Die Definitionen wie diese Eigenschaften definiert sind liegen mir alle vor! Könnt ihr mir genau erklären, wie man an solche Aufgaben rangeht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Mycroft |
> Überprüfen sie auf Reflexivität, Symmetrie,
> Antisymmetrie, Transitivität und Vollständigkeit:
>
> A1 := {1,2,3,4}
> R1 := {(1,1), (2,1), (3,4), (2,2), (3,3), (4,4), (4,1)}
Wichtig ist bei solchen Aufgaben Definitionen im Hinterkopf zu haben, zB. dass eine Relation die Teilmenge des Kreuzproduktes einer Menge mit sich selbst ist.
Am besten man macht eine Tabelle, in der man die Relationen ankreuzt. Wenn die gesamte Hauptdiagonale gekreuzelt ist, ist die Relation reflexiv. Reflexivitt bedeutet, dass jedes Element der Menge in Beziehung zu sich selbst steht, also aRa.
Kann man die Tabelle an der Diagonalen spiegeln, ist die Funktion symmetrisch oder auch laut Definition, wenn aRb, dann auch bRa. Da hier zB. 2R1, aber nicht 1R2 (gleiches gilt für Zahlenpaare (3,4),(4,1)), ist die Relation nicht symmetrisch.
Antisymmetrie liegt vor, wenn aus aRb und bRa a=b folgt. Dies trifft für alle Beziehungen zu, die symmetrisch sind (1R1,2R2,3R3,4R4). Die Relation ist also antisymmetrisch.
Transitivität bedeutet, wenn aRb und bRc, dann aRc. Da 3R4 und 4R1 aber nicht 3R1, ist die Abbildung nicht transitiv.
Vollständig ist sie auch nicht, da sonst die Relation das gesamte Kreuzprodukt von A1 sein müsste. Sie ist aber echte Teilmenge von A1 und damit nicht vollständig.
Hoffe ich konnte helfen!
lg
Mycroft
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mi 12.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Antwort. Ich bin leider erst jetzt wieder dazugekommen mich um das hier zu kümmern.
Wie gehe ich denn nun vor wenn ich folgende Menge hab: A={1,2,4} und soll hier nun folgende Relationen konstruieren:
a) R sei symmetrisch und antisymmetrisch
b) R sei symmetrisch und vollständig
c) R sei vollständig und nicht reflexiv
d) R sei nicht symmetrisch, nicht reflexiv und nicht antisymmetrisch
zu a)
Ich bilde als erstmal das Kreuzprodukt der Menge A mit sich selbst. Das sieht dann so aus:
R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}
nun muss ich eine Relation bilden die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch ist...
Symmetrie liegt ja vor, wenn die Relation gespiegelt werden kann. Das wäre ja eigentlich ganz einfach, dass wäre ja quasi die Relation:
R={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2)}
Wie mach ich das aber jetzt, dass sie auch noch zusätzlich antisymmetrisch ist?
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