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| Aufgabe | Sei f : A [mm] \rightarrow [/mm] B eine Abbildung, und seien A1, A2 [mm] \subseteq [/mm] A und B1, B2 [mm] \subseteq [/mm] B Teilmengen. In Analogie
zur Defnition des Bildes einer Menge definieren wir das Urbild einer Teilmenge B1 [mm] \subseteq [/mm] B unter
f durch:
[mm] f^{-1} (B_1) [/mm] := {x [mm] \in [/mm] A | f(x) [mm] \in B_1 [/mm] }
Zeigen Sie die folgenden Behauptungen:
1. [mm] f(A_1 \cap A_2) \subseteq [/mm] [mm] f(A_1) \cap f(A_2),
[/mm]
2. [mm] f(A_1 [/mm] \ A2) [mm] \subseteq [/mm] [mm] f(A_1) [/mm] \ [mm] f(A_2),
[/mm]
3. [mm] f^{-1} (B_1 [/mm] \ [mm] B_2) [/mm] = [mm] f^{-1}(B_1) [/mm] \ [mm] f^{-1}(B_2),
[/mm]
4. [mm] f^{-1}(B_1 \cap B_2) [/mm] = [mm] f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).
[/mm]
Finden Sie auch verbale Formulierungen dieser Aussagen. Geben Sie außerdem Beispiele an,
die belegen, dass in den Behauptungen 2. und 4. die Gleichheit verletzt ist. |
Nun ich konnte die Aufgaben lösen, doch bei einer Teilaufgabe, die b, habe ich sie bewiesen und auch gleichzeitig widerlegen können, doch ich finde einfach nicht meinen Denkfehler :(
Könnt ihr mir sagen, was bei meinen Beweisen falsch ist?
1b)
Beweis:
[mm] f(A_1 [/mm] \ [mm] A_2)
[/mm]
→ b [mm] \in f(A_1 [/mm] \ [mm] A_2)
[/mm]
= [mm] \exists [/mm] a [mm] \in A_1 \wedge [/mm] ∄ a [mm] \in A_2 [/mm] : f(a)=b
= ( [mm] \exists [/mm] a [mm] \in A_1 [/mm] : f(a)=b) [mm] \wedge [/mm] ( ∄ a [mm] \in A_2 [/mm] : f(a)=b)
= b [mm] \in f(A_1) \wedge [/mm] b [mm] \notin f(A_2)
[/mm]
= [mm] f(A_1) [/mm] \ [mm] f(A_2)
[/mm]
→ [mm] f(A_1) [/mm] \ [mm] f(A_2) \subseteq f(A_1 [/mm] \ [mm] A_2) [/mm]
Gegenbeispiel:
Sei f: [mm] $\mathbb{N}$_a \rightarrow $\mathbb{N}$_b [/mm] und g: [mm] $\mathbb{N}$_c \rightarrow $\mathbb{Z}$ [/mm] , dann ist [mm] f($\mathbb{N}$_c) [/mm] \ [mm] f($\mathbb{N}$_a) \subseteq f($\mathbb{N}$_c [/mm] \ [mm] $\mathbb{N}$_a) [/mm] folglich
[mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] \ [mm] $\mathbb{N}$_b \subseteq [/mm] f( [mm] \varnothing [/mm] ) umgeformt: [mm] $\mathbb{Z}$^{-} \subseteq [/mm] f( [mm] \varnothing [/mm] ) .
Dies ist ein Widerspruch! Also wurde die Behauptung widerlegt.
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> Sei f : A [mm]\rightarrow[/mm] B eine Abbildung, und seien A1, A2
> [mm]\subseteq[/mm] A und B1, B2 [mm]\subseteq[/mm] B Teilmengen. In
> Analogie
> zur Defnition des Bildes einer Menge definieren wir das
> Urbild einer Teilmenge B1 [mm]\subseteq[/mm] B unter
> f durch:
> [mm]f^{-1} (B_1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {x [mm]\in[/mm] A | f(x) [mm]\in B_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Zeigen Sie die folgenden Behauptungen:
> [mm]f(A_1[/mm] \ A2) [mm]\subseteq[/mm] [mm]f(A_1)[/mm] \ [mm]f(A_2),[/mm]
Hallo,
ich denke nicht, daß Dir ein Beweis dieser Aussage gelingen wird. Sie gilt nicht.
> Nun ich konnte die Aufgaben lösen, doch bei einer
> Teilaufgabe, die b, habe ich sie bewiesen und auch
> gleichzeitig widerlegen können,
Da sollte man wirklich hellhörig werden.
> doch ich finde einfach
> nicht meinen Denkfehler :(
>
> Könnt ihr mir sagen, was bei meinen Beweisen falsch ist?
>
> 1b)
>
> Beweis:
>
Sei
>
> b [mm]\in f(A_1[/mm] \ [mm]A_2)[/mm]
==>
> [mm]\exists[/mm] a [mm]\in A_1 \wedge[/mm] ∄ a [mm]\in A_2[/mm] : f(a)=b
Das stimmt nicht.
Es folgt, daß es ein [mm] a\in A_1\setminus A_2 [/mm] gibt mit b=f(a).
Darüber, ob es solch ein Element auch in [mm] A_2 [/mm] gibt oder nicht, wird gar nichts gesagt durch [mm] b\in f(A_1\setminus A_2)
[/mm]
> = ( [mm]\exists[/mm] a [mm]\in A_1[/mm] : f(a)=b) [mm]\wedge[/mm] ( ∄ a [mm]\in A_2[/mm] :
> f(a)=b)
> = b [mm]\in f(A_1) \wedge[/mm] b [mm]\notin f(A_2)[/mm]
> = [mm]f(A_1)[/mm] \ [mm]f(A_2)[/mm]
>
> → [mm]f(A_1)[/mm] \ [mm]f(A_2) \subseteq f(A_1[/mm] \ [mm]A_2)[/mm]
>
>
> Gegenbeispiel:
Dein Gegenbeispiel ist völlig unverständlich.
Du sagst zwar die Menge, aus welcher abgebildet wird, und auch die Menge, in welche abgebildet wird, verschweigst aber, was Du mit a und b meinst, und Du verrätst ja gar nicht die Abbildungsvorschrift! Was man mit dem g soll, ist komplett schleierhaft.
Betrachte mal folgendes einfache Beispiel:
[mm] A:=\{a,b,c\}, B:={1,2\}, A_1:=\{a,b\}, A_2:=\{b,c\},
[/mm]
[mm] f:A\to [/mm] B
mit
f(a):=1,
f(b):=1,
f(c):=2
LG Angela
>
> Sei f: [mm]\mathbb{N}[/mm]_a [mm]\rightarrow[/mm] [mm]\mathbb{N}[/mm]_b und g:
> [mm]\mathbb{N}[/mm]_c [mm]\rightarrow[/mm] [mm]\mathbb{Z}[/mm] , dann ist
> f([mm]\mathbb{N}[/mm]_c) \ f([mm]\mathbb{N}[/mm]_a) [mm]\subseteq[/mm] f([mm]\mathbb{N}[/mm]_c
> \ [mm]\mathbb{N}[/mm]_a) folglich
> [mm]\mathbb{Z}[/mm] \ [mm]\mathbb{N}[/mm]_b [mm]\subseteq[/mm] f( [mm]\varnothing[/mm] )
> umgeformt: [mm]\mathbb{Z}[/mm]^{-} [mm]\subseteq[/mm] f( [mm]\varnothing[/mm] ) .
> Dies ist ein Widerspruch! Also wurde die Behauptung
> widerlegt.
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[mm] f(A_1 [/mm] \ [mm] A_2) \subseteq f(A_1) [/mm] \ [mm] f(A_2)
[/mm]
= f ({a}) [mm] \subseteq [/mm] {1,1} \ {1, 2}
= {1} [mm] \subseteq [/mm] { [mm] \varnothing [/mm] }
Widerspruch!
Ist das so richtig?
Habe danke dir verstanden wieso man [mm] \nexists [/mm] in dem Fall nicht verwenden kann. :)
Wäre aber [mm] A_2 [/mm] keine Teilmenge von [mm] A_1 [/mm] würde es doch klappen, oder?
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Hallo,
Du solltest etwas genauer arbeiten, bzw. genauer/richtiger notieren.
[mm] A_1\setminus A_2=\{a\}.
[/mm]
[mm] f(\{a\})=\{1\}
[/mm]
[mm] f(A_1)=\{1\}.
[/mm]
Was Du unten schreibst, [mm] \{a,a\}, [/mm] ist zwar nicht direkt falsch, aber es ist [mm] \{a,a\}=\{a\}, [/mm] und so sollte man diese Menge auch schreiben.
Und Achtung: es ist [mm] \{1\}\setminus \{1,2\}\not=\{\emptyset\}, [/mm] sondern es ist [mm] \{1\}\setminus \{1,2\}=\emptyset.
[/mm]
[mm] \emptyset [/mm] ist eine Menge, welche kein Element enthält, [mm] \{\emptyset\} [/mm] hingegen ist eine Menge, welche genau ein Element enthält. Das ist ein riesiger Unterschied!
> [mm]f(A_1[/mm] \ [mm]A_2) \subseteq f(A_1)[/mm] \ [mm]f(A_2)[/mm]
>
> = f ({a}) [mm]\subseteq[/mm] {1,1} \ {1, 2}
> = {1} [mm]\subseteq[/mm] { [mm] \varnothing [/mm] }
>
> Widerspruch!
>
> Ist das so richtig?
>
> Habe danke dir verstanden wieso man [mm]\nexists[/mm] in dem Fall
> nicht verwenden kann. :)
> Wäre aber [mm]A_2[/mm] keine Teilmenge von [mm]A_1[/mm] würde es doch
> klappen, oder?
[mm] A_2 [/mm] ist keine Teilmenge von [mm] A_1.
[/mm]
LG Angela
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okay :)
Jetzt bin ich etwas verunsichert. Kannst du über die anderen Antworten gucken, ob sie richtig sind?
Ich war mir eigentlich ziemlich sicher das die so stimmen.
1 a)
[mm] f(A_1 \cap A_2)
[/mm]
→ b [mm] \in f(A_1 \wedge A_2)
[/mm]
= [mm] \exists [/mm] a [mm] \in A_1 \wedge A_2 [/mm] : f(a) = b
= ( [mm] \exists [/mm] a [mm] \in A_1 [/mm] : f(a) = b) and [mm] (\exists [/mm] a [mm] \in A_2 [/mm] : f(a) = b)
= b [mm] \in f(A_1) \wedge [/mm] b [mm] \in f(A_2)
[/mm]
= [mm] f(A_1) \cap f(A_2)
[/mm]
→ f [mm] (A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)
[/mm]
c)
[mm] f^{-1}(B_1 [/mm] \ [mm] B_2)
[/mm]
→ a [mm] \in f^{-1}(B_1 [/mm] \ [mm] B_2)
[/mm]
= [mm] \exists \in B_1 \wedge [/mm] b [mm] \notin B_2: f^{-1}(a)=b
[/mm]
= ( [mm] \exists [/mm] b [mm] \in B_1 [/mm] : [mm] f^{-1}(a)=b) \wedge [/mm] ( [mm] \nexists [/mm] b [mm] \in B_2: f^{-1}(a)=b) [/mm] *
= a [mm] \in f^{-1}(B_1) [/mm] \ [mm] f^{-1}(B_2)
[/mm]
= [mm] f^{-1}(B_1) [/mm] \ [mm] f^{-1}(B_2)
[/mm]
→ [mm] f^{-1}(B_1 [/mm] \ [mm] B_2) [/mm] = [mm] f^{-1}(B_1) [/mm] \ [mm] f^{-1}(B_2)
[/mm]
*Es kann kein b in [mm] B_2 [/mm] existieren das diese Bedingung erfüllen kann, da sonst das b in [mm] B_1 [/mm] nicht mehr existieren würden, durch die Vorraussetzung [mm] B_1 [/mm] \ [mm] B_2
[/mm]
d)
Sei f: A [mm] \rightarrow [/mm] B und g: C [mm] \rightarrow [/mm] C mit f(x)=exp(x) , [mm] f^{-1}(x)=log(x) [/mm] und C:={-1}
Dann ist [mm] f^{-1}(B \cap C)=f^{-1}(B) \cap f^{-1}(C) [/mm]
folglich [mm] f^{-1}({-1}) [/mm] = [mm] f^{-1}(B) \cap f^{-1}(C) [/mm]
also auch f(C)={-1} = f(A) [mm] \cap [/mm] f(C) = [mm] \varnothing
[/mm]
Dies ist ein Widerspruch, also ist die Behauptung falsch [mm] f^{-1}(B \cap [/mm] C) = [mm] f^{-1}(B) \cap f^{-1}(C)
[/mm]
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> okay :)
> Jetzt bin ich etwas verunsichert. Kannst du über die
> anderen Antworten gucken, ob sie richtig sind?
> Ich war mir eigentlich ziemlich sicher das die so
> stimmen.
>
> 1 a)
>
> [mm]f(A_1 \cap A_2)[/mm]
>
> → b [mm]\in f(A_1 \wedge A_2)[/mm]
Hallo,
hiermit gewinnst Du keinen Blumentopf.
Wahrscheinlich wolltest Du schreiben:
Zu zeigen: [mm] f(A_1 \cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)
[/mm]
Beweis: Sei [mm] b\in f(A_1\red{\cap}A_2)
[/mm]
> [mm] \red{=}[/mm] [mm]\exists[/mm] a [mm]\in A_1 \red{\wedge}A_2[/mm]
> : f(a) = b
Das Gleichheitszeichen ist völlig verkehrt.
Da gehört ein Folgepfeil hin.
Und wie oben muß es hier [mm] \cap, [/mm] "geschnitten mit", heißen und nicht [mm] \wedge, [/mm] "und".
> = ( [mm]\exists[/mm] a [mm]\in A_1[/mm] : f(a) = b) and [mm](\exists[/mm] a [mm]\in A_2[/mm]
> : f(a) = b)
Folgepfeil setzen, kein Gleichheitszeichen.
Dort, wo "and" steht, würde man eher "und" schreiben.
Übrigens könntest Du an dieser Stelle das schicke [mm] \wedge [/mm] -Zeichen unterbringen.
(Ich selbst nehme lieber Worte als Zeichen, weil ich finde, daß man es geschmeidiger lesen kann.)
Ansonsten stimmt der Schritt aber.
> = b [mm]\in f(A_1) \wedge[/mm] b [mm]\in f(A_2)[/mm]
Folgepfeil!
> = [mm]f(A_1) \cap f(A_2)[/mm]
Nee. Du meinst in Deinem tiefsten Innersten
[mm] \rightarrow b\in f(A_1) \cap f(A_2).
[/mm]
>
> → f [mm](A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)[/mm]
Genau.
Am besten überarbeitest Du den Rest unter Berücksichtigung meiner Hinweise nochmal.
LG Angela
>
>
> c)
>
> [mm]f^{-1}(B_1[/mm] \ [mm]B_2)[/mm]
> → a [mm]\in f^{-1}(B_1[/mm] \ [mm]B_2)[/mm]
> = [mm]\exists \in B_1 \wedge[/mm] b [mm]\notin B_2: f^{-1}(a)=b[/mm]
> = (
> [mm]\exists[/mm] b [mm]\in B_1[/mm] : [mm]f^{-1}(a)=b) \wedge[/mm] ( [mm]\nexists[/mm] b [mm]\in B_2: f^{-1}(a)=b)[/mm]
> *
> = a [mm]\in f^{-1}(B_1)[/mm] \ [mm]f^{-1}(B_2)[/mm]
> = [mm]f^{-1}(B_1)[/mm] \ [mm]f^{-1}(B_2)[/mm]
>
> → [mm]f^{-1}(B_1[/mm] \ [mm]B_2)[/mm] = [mm]f^{-1}(B_1)[/mm] \ [mm]f^{-1}(B_2)[/mm]
>
>
> *Es kann kein b in [mm]B_2[/mm] existieren das diese Bedingung
> erfüllen kann, da sonst das b in [mm]B_1[/mm] nicht mehr existieren
> würden, durch die Vorraussetzung [mm]B_1[/mm] \ [mm]B_2[/mm]
>
>
> d)
>
> Sei f: A [mm]\rightarrow[/mm] B und g: C [mm]\rightarrow[/mm] C mit
> f(x)=exp(x) , [mm]f^{-1}(x)=log(x)[/mm] und C:={-1}
>
> Dann ist [mm]f^{-1}(B \cap C)=f^{-1}(B) \cap f^{-1}(C)[/mm]
> folglich [mm]f^{-1}({-1})[/mm] = [mm]f^{-1}(B) \cap f^{-1}(C)[/mm]
> also auch f(C)={-1} = f(A) [mm]\cap[/mm] f(C) = [mm]\varnothing[/mm]
>
> Dies ist ein Widerspruch, also ist die Behauptung falsch
> [mm]f^{-1}(B \cap[/mm] C) = [mm]f^{-1}(B) \cap f^{-1}(C)[/mm]
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> Sei f : A [mm]\rightarrow[/mm] B eine Abbildung, und seien A1, A2
> [mm]\subseteq[/mm] A und B1, B2 [mm]\subseteq[/mm] B Teilmengen. In
> Analogie
> zur Defnition des Bildes einer Menge definieren wir das
> Urbild einer Teilmenge B1 [mm]\subseteq[/mm] B unter
> f durch:
> [mm]f^{-1} (B_1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {x [mm]\in[/mm] A | f(x) [mm]\in B_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Zeigen Sie die folgenden Behauptungen:
> 1. [mm]f(A_1 \cap A_2) \subseteq[/mm] [mm]f(A_1) \cap f(A_2),[/mm]
> 2.
> [mm]f(A_1[/mm] \ A2) [mm]\subseteq[/mm] [mm]f(A_1)[/mm] \ [mm]f(A_2),[/mm]
> 3. [mm]f^{-1} (B_1[/mm] \ [mm]B_2)[/mm] = [mm]f^{-1}(B_1)[/mm] \ [mm]f^{-1}(B_2),[/mm]
> 4. [mm]f^{-1}(B_1 \cap B_2)[/mm] = [mm]f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).[/mm]
>
> Finden Sie auch verbale Formulierungen dieser Aussagen.
> Geben Sie außerdem Beispiele an,
> die belegen, dass in den Behauptungen 2. und 4. die
> Gleichheit verletzt ist.
>
Hallo,
ich gerate gerade ins Grübeln:
kann es sein, daß beim Abschreiben/Kopieren/Umarbeiten der Aufgabe etwas schiefgelaufen ist?
Sollte womöglich in Aufg. 2 statt der Differenz [mm] \setminus [/mm] von Mengen ihre Vereinigung [mm] \cup [/mm] stehen?
Immerhin steht ja auch drüber, daß man beweisen soll, und wir mußten widerlegen.
Irritierend ist auch, daß man zeigen soll, daß in 4 die Gleichheit verletzt ist. Aber sie ist gar nicht verletzt.
Irgendwas ist hier im Busche...
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 26.05.2013 | | Autor: | abendglut |
Nein die Aufgabe ist schon richtig 1zu1 abgeschrieben.
Der einzige Unterschied ist bei der 1.2, dass das Teilmengen Symbol gespiegelt ist, aber ich denke mal das es kein Unterschied ist.
Das mit dem beweisen und widerlegen hat mich verunsichert. :(
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> Nein die Aufgabe ist schon richtig 1zu1 abgeschrieben.
> Der einzige Unterschied ist bei der 1.2, dass das
> Teilmengen Symbol gespiegelt ist, aber ich denke mal das es
> kein Unterschied ist.
Spaßvogel!
Das ist ein Riesenunterschied!
A[mm] \supseteq[/mm]B bedeutet nämlich, daß B eine Teilmenge von A ist...
LG Angela
>
> Das mit dem beweisen und widerlegen hat mich verunsichert.
> :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 So 26.05.2013 | | Autor: | abendglut |
Ja aber es ist ja keine echte teilmenge sondern "nur" eine Teilmenge und da gibt es kein Unterschied zwischen A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A
siehe: http://www.mathe-lexikon.at/media/cache/ec/0a/ec0a6c643a13d97627d920878b45daa4.jpg
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> Ja aber es ist ja keine echte teilmenge sondern "nur" eine
> Teilmenge und da gibt es kein Unterschied zwischen
> A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm] A
Hallo,
doch.
Zunächst mal zur echten Teilmenge:
wenn A eine echte Teilmenge von B ist, bedeutet das, daß jedes Element von A auch in B liegt, daß die Mengen aber nicht gleich sind.
[mm] A\subseteq [/mm] B bedeutet, daß jedes Element von A auch in B liegt. "Teilmenge halt. Die Mengen können also unter Umständen auch gleich sein.
Wenn wir nun echte Teilmengen betrachten, kann niemals gleichzeitig [mm] A\subset [/mm] B und [mm] B\subset [/mm] A gelten.
Betrachten wir aber [mm] \subseteq, [/mm] so kann gleichzeitig [mm] A\suseteq [/mm] B und [mm] B\subseteq [/mm] A gelten - wenn nämlich A und B gleich sind.
So ist ja auch die Mengengleichheit definiert.
Das steht hier aber gar nicht zur Debatte. Sondern:
es ist ein Unterschied, ob Du [mm] A\subseteq [/mm] B oder [mm] B\subseteq [/mm] A zeigst.
Sei A die Menge aller blauen Autos und B die Menge aller Autos.
Es ist [mm] A\subseteq [/mm] B, aber es ist nicht [mm] B\subseteq [/mm] A.
> siehe:
> http://www.mathe-lexikon.at/media/cache/ec/0a/ec0a6c643a13d97627d920878b45daa4.jpg
Das Bildchen möchte wohl dies mitteilen:
sofern A=C, ist natürlich [mm] c\subseteq [/mm] A. Denn jedes Element aus C ist im Fall der vorausgesetzten Gleichheit auch in A.
Es gilt C=A ==> [mm] C\subseteq [/mm] A.
Falsch hingegen ist die Folgerung: [mm] C\subseteq [/mm] A ==> C=A.
LG Angela
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also ist [mm] \varnothing \subseteq [/mm] A und auch [mm] \varnothing \subset [/mm] A ?
Also die Definitionen die ich kenne sind für A [mm] \subseteq [/mm] B:
"A ist Teilmenge von B genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B ist"
A [mm] \subset [/mm] B:
"A ist echte Teilmenge von B genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und zugleich mindestens ein Element von B nicht Element von A ist."
Das wäre dann bei deinem Autovergleich nicht der Fall, denn dann würde gelten A [mm] \subset [/mm] B und nicht A [mm] \subseteq [/mm] B oder gilt wie oben angedeutet, dass man eine Teilmenge und eine echte Teilmenge zugleich sein kann?
Also die Aufgabe bei der 1.2 hieß genau:
[mm] f(A_1 [/mm] \ [mm] A_2) \supseteq f(A_1) [/mm] \ [mm] f(A_2)
[/mm]
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> also ist [mm]\varnothing \subseteq[/mm] A und auch [mm]\varnothing \subset[/mm]
> A ?
Hallo,
ja.
>
> Also die Definitionen die ich kenne sind für A [mm]\subseteq[/mm]
> B:
>
> "A ist Teilmenge von B genau dann, wenn jedes Element von A
> auch Element von B ist"
>
> A [mm]\subset[/mm] B:
>
> "A ist echte Teilmenge von B genau dann, wenn jedes Element
> von A auch Element von B ist und zugleich mindestens ein
> Element von B nicht Element von A ist."
Paßt.
>
> Das wäre dann bei deinem Autovergleich nicht der Fall,
> denn dann würde gelten A [mm]\subset[/mm] B und nicht A [mm]\subseteq[/mm] B
> oder gilt wie oben angedeutet, dass man eine Teilmenge und
> eine echte Teilmenge zugleich sein kann?
Du mußt echt nicht denken, sondern einfach nach Definition vorgehen:
Ist jedes blaue Auto in der Menge der Autos?
Ja.
Also ist die Menge der blauen Autos eine Teilmenge der Menge der Autos.
Ist jedes blaue Auto in der Menge der Autos?
Ja.
Gibt es in der Menge der Autos eines, welches nicht blau ist?
Ja, meins.
Also ist die Menge der blauen Autos eine echte Teilmenge der Menge der Autos.
> Also die Aufgabe bei der 1.2 hieß genau:
>
> [mm]f(A_1[/mm] \ [mm]A_2) \supseteq f(A_1)[/mm] \ [mm]f(A_2)[/mm]
Dann versuche nun, dies zu beweisen, also zu zeigen, daß aus [mm] b\in f(A_1)\setminus f(A_2) [/mm] folgt, daß [mm] b\in F(A_1\setminus A_2).
[/mm]
LG Angela
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b [mm] \in f(A_1) [/mm] \ [mm] f(A_2)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow [/mm] b [mm] \in f(A_1) \wedge [/mm] b [mm] \notin f(A_2)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow [/mm] ( [mm] \exists [/mm] a [mm] \in A_1: [/mm] f(a)=b ) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \nexists [/mm] a [mm] \in A_2: [/mm] f(a)=b)
[mm] \Leftrightarrow \exists [/mm] a [mm] \in A_1 \wedge \nexists [/mm] a [mm] \in A_2: [/mm] f(a)=b
[mm] \Leftrightarrow [/mm] b [mm] \in f(A_1 [/mm] \ [mm] A_2)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow f(A_1 [/mm] \ [mm] A_2)
[/mm]
so? Das ist ungefähr das, was wir in Lineare Algebra gemacht haben
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:50 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> b [mm]\in f(A_1)[/mm] \ [mm]f(A_2)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] b [mm]\in f(A_1) \wedge[/mm] b [mm]\notin f(A_2)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] ( [mm]\exists[/mm] a [mm]\in A_1:[/mm] f(a)=b ) [mm]\wedge[/mm] (
> [mm]\nexists[/mm] a [mm]\in A_2:[/mm] f(a)=b)
> [mm]\Leftrightarrow \exists[/mm] a [mm]\in A_1 \wedge \nexists[/mm] a [mm]\in A_2:[/mm]
> f(a)=b
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] b [mm]\in f(A_1[/mm] \ [mm]A_2)[/mm]
Bis hier ist es O.K.
> [mm]\Leftrightarrow f(A_1[/mm] \ [mm]A_2)[/mm]
Was soll das ?
FRED
>
> so? Das ist ungefähr das, was wir in Lineare Algebra
> gemacht haben
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> > b [mm]\in f(A_1)[/mm] \ [mm]f(A_2)[/mm]
> >
> > [mm]\Leftrightarrow[/mm] b [mm]\in f(A_1) \wedge[/mm] b [mm]\notin f(A_2)[/mm]
> >
> > [mm]\Leftrightarrow[/mm] ( [mm]\exists[/mm] a [mm]\in A_1:[/mm] f(a)=b ) [mm]\wedge[/mm] (
> > [mm]\nexists[/mm] a [mm]\in A_2:[/mm] f(a)=b)
> > [mm]\Leftrightarrow \exists[/mm] a [mm]\in A_1 \wedge \nexists[/mm] a
> [mm]\in A_2:[/mm]
> > f(a)=b
> > [mm]\Leftrightarrow[/mm] b [mm]\in f(A_1[/mm] \ [mm]A_2)[/mm]
>
>
> Bis hier ist es O.K.
Moin,
der letzte Äquivalenzpfeil nicht!
LG Angela
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