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Relationen: Anzahl Elemente: Reicht ein Element?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Fr 26.02.2016
Autor: Hawallan

Aufgabe
R = {(a,b) [mm] \in \IN+\times \IN+ [/mm] | ggT(a,b) = 1 }
Überprüfung auf die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation.


Die Elemente der Relation ergeben sich aus dem Kreuzprodukt der natürlichen positiven Zahlen mit den natürlichen positiven Zahlen, wobei a und b als größten gemeinsamen Teiler 1 haben. Für (1,2), (2,3),(1,3) mag das z.B. gelten. (1,2) ist symmetrisch, da die Reihenfolge beim ggT keine Rolle spielt. Die Transitivität ist für folgende Paare auch gegeben: (1,2),(2,3). Da 1 und 2 den ggT 1 haben und das auch für 1 und 3 gilt wäre hier die Bedingung für Transitivität erfüllt. Reflexiv ist aber nur folgendes Element aus [mm] \IN \times \IN: [/mm] (1,1). (1,1) ist also reflexiv.  
Mein Problem ist folgendes:

In der Lösung zu dieser Aufgabe steht, dass diese Relation nicht reflexiv ist, da ein Element a als ggT nicht nur 1 hat sondern auch sich selbst. Also sei diese Relation nicht reflexiv. Nach meinem Verständnis muss diese Eigenschaft allerdings nicht für alle Elemente sondern nur für mindestens ein Element gelten, welches ja mit (1,1) gegeben wäre. (1,1) ist aber das einzigste Element des Kreuzprodukts aus [mm] \IN \times \IN [/mm] das die Reflexivitätsbedingung erfüllt. Kann ich dann sagen, dass für (1,1) auch die symmetrie-und transitivitäts-Bedingungen erfüllt sind und die Relation somit eine Äquivalenzrelation ist, aber eben nur dieses eine Element (1,1) enthält?
In der Lösung zu dieser Aufgabe steht, dass die Relation nicht transitiv sei, da ggT(2,3) = 1 und ggT(3,4)=1 aber ggT(2,4) = 2 und 2 != 1. Für (1,2),(2,3) wäre ggT(1,2)=1 und ggT(2,3) =1 und ggT(1,3) = 1. Daher wäre doch die Transitivität gegeben. Die Reflexivität ist aber wie bereits erwähnt nur für (1,1) gegeben. Also nochmal die Frage: Wieso ist diese Relation keine Äquivalenzrelation, die nur das Element (1,1) enthält? Bzw. ist sie das nicht, weil (1,1) nicht symmetrisch bzw. transitiv ist? Wenn ja wieso, das verstehe ich nicht ganz.

Bitte um Hilfe und um Entschuldigung für den langen Post. Ich wüsste nicht wie ich mich hier hätte kürzer fassen können.

Mfg,

Hawallan

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Relationen: Anzahl Elemente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Fr 26.02.2016
Autor: angela.h.b.


> R = [mm] \{(a,b) \in \IN+\times \IN+ | ggT(a,b) = 1 \} [/mm]
>  Überprüfung auf die Eigenschaften einer
> Äquivalenzrelation.

Hallo,

[willkommenmr].

>  
> Die Elemente der Relation ergeben sich aus dem Kreuzprodukt
> der natürlichen positiven Zahlen mit den natürlichen
> positiven Zahlen, wobei a und b als größten gemeinsamen
> Teiler 1 haben. Für (1,2), (2,3),(1,3) mag das z.B.
> gelten. (1,2) ist symmetrisch,

Stop!
Symmetrie ist eine Eigenschaft von Relationen, nicht von einzelnen Elementen der Relation.

Eine Relation heißt symmetrisch, wenn für sämtliche Elemente (a,b) der Relation auch das Element (b,a) in ihr enthalten ist.
Das ist bei dieser Relation der Fall,
denn wenn [mm] (a,b)\in [/mm] R, also ggT(a,b)=1, dann ist natürlich auch ggT(b,a)=1, woraus folgt, daß [mm] (b,a)\in [/mm] R.

> da die Reihenfolge beim ggT
> keine Rolle spielt. Die Transitivität ist für folgende
> Paare auch gegeben:

auch die Transitivität ist eine Eigenschaft der Relation, welche besagt:

wenn (a,b) und (b,c) in R sind, dann ist auch (a,c) in R.

> (1,2),(2,3). Da 1 und 2 den ggT 1 haben
> und das auch für 1 und 3 gilt wäre hier die Bedingung
> für Transitivität erfüllt.

Aber für (2,3) und (2,4) läuft das dann gar nicht gut...
Die Relation ist offenbar nicht transitiv.


> Reflexiv ist aber nur
> folgendes Element aus [mm]\IN \times \IN:[/mm] (1,1). (1,1) ist also
> reflexiv.  

Auch hier: Elemente können nicht reflexiv sein.
Obige Relation wäre reflexiv, wenn für jedes [mm] a\in \IN^{+} [/mm] das Paar (a,a) in der Relation wäre.
Offenbar ist aber (2,2) nicht in der Relation.
Also ist die Relation nicht reflexiv.


> Mein Problem ist folgendes:
>  
> In der Lösung zu dieser Aufgabe steht, dass diese Relation
> nicht reflexiv ist, da ein Element a als ggT nicht nur 1
> hat sondern auch sich selbst. Also sei diese Relation nicht
> reflexiv. Nach meinem Verständnis muss diese Eigenschaft
> allerdings nicht für alle Elemente sondern nur für
> mindestens ein Element gelten,

Da täuschst Du Dich.
In dem Moment, in welchem man Zweifel hat, befragt man sinnvollerweise die Definition.
Sie teilt mit (abgekupfert bei wikipedia):

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Teilmenge R [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] M, welche folgende Bedingungen erfüllt:

Reflexivität
    Für alle [mm] a\in [/mm] M ist [mm] (a,a)\in [/mm] R.
Symmetrie
    Für alle [mm] a,b\in [/mm] M, für die [mm] (a,b)\in [/mm] R gilt, ist auch (b,a) [mm] \in [/mm] R.
Transitivität
    Für alle a,b,c [mm] \in [/mm] M mit (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R gilt, dass auch (a,c) [mm] \in [/mm] R.


Wir halten fest: die Relation, mit der Du Dich beschäftigen sollst, ist symmetrisch, aber weder transitiv noch symmetrisch.
Also ist es keine Äquivalenzrelation.

LG Angela




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