Relationen u. Operatoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 16.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo,
gegeben ist eine Menge M={a,b}, die aus zwei Elementen a u. b besteht. Und man soll nun alle einstelligen Relationen und alle zweistelligen Operationen aufschreiben (Zusatzfrage, welche davon sind Gruppenoperationen?)
Die einstelligen Relationen sind doch einfach {a} u. {b}. oder?
Aber was sind die zweistelligen Operationen?
Hoffe auf schnelle Antwort. Gruß Toyo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gruß!
Also zunächst mal zu den einstelligen Relationen: eine n-stellige Relation kann man z.B. als Abbildung des n-fachen Produktes der Menge mit sich selbst in die Menge [mm] $\{ 0, 1\}$ [/mm] sehen - also anschaulich ist eine n-stellige Relation etwas, das für n Elemente der Menge wahr oder falsch sein kann.
Ein Beispiel für eine zweistellige Relation auf der Menge [mm] $\IR$ [/mm] der reellen Zahlen ist "<". Denn die Aussage $a < b$ für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] kann wahr oder falsch sein.
Einstellige Relationen sind also Aussagen über nur ein Element der Menge, die wahr oder falsch sein können. Und da gibt es bei der Menge [mm] $\{ a, b \}$ [/mm] genau 4 Möglichkeiten:
[mm] $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}$.
[/mm]
Also anschaulich die Relation, die für kein Element gilt, die, die für je ein Element gelten und die, die für beide richtig ist.
Was ist nun eine Operation im Gegensatz zu einer Relation? Eine Operation liefert nicht "wahr" oder "falsch" zurück, sondern ein Element der Menge. Wieder ein Beispiel einer zweistelligen Operation im Bereich der reellen Zahlen: "+". Dann $a + b$ ist für alle $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] wieder eine reelle Zahl.
In Deinem Fall kann man eine Operation über eine Verknüpfungstafel angeben - man definiert, was die einzelnen Ergebnisse sein sollen. Wenn wir die neue Operation mal [mm] $\circ$ [/mm] taufen, dann muß definiert werden, was
$a [mm] \circ [/mm] a, a [mm] \circ [/mm] b, b [mm] \circ [/mm] a$ und $b [mm] \circ [/mm] b$ sein sollen. Jedes Mal kommt entweder $a$ oder $b$ heraus. Wie gesagt, am besten schreibt man sich eine Tabelle auf (zwei Spalten, zwei Zeilen) und trägt da die Möglichkeiten ein.
Wenn alles richtig gemacht wurde, solltest Du auf [mm] $2^4 [/mm] = 16$ Tabellen kommen (es sind 4 Felder und jeweils 2 Möglichkeiten).
Schließlich das mit den Gruppen: damit eine zweistellige Operation auf einer Menge $M$ "Gruppenoperation" heißt und die Menge zu einer Gruppe macht, muß gelten:
i) $(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c = a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)$ für alle $a,b,c [mm] \in [/mm] M$
ii) Es gibt ein $e [mm] \in [/mm] M$ mit $a [mm] \circ [/mm] e = e [mm] \circ [/mm] a = a$ für jedes $a [mm] \in [/mm] M$.
iii) Zu jedem $a [mm] \in [/mm] M$ gibt es ein [mm] $a^{-1} \in [/mm] M$ mit $a [mm] \circ a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} \circ [/mm] a = e$.
Das mußt Du im Einzelfall prüfen - da Du nur 2 Elemente hast, sollte das wenig Probleme geben.
Wenn noch Fragen sind - einfach drauflos!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Vielen Dank für deinen Hinweis, also, ich hab jetzt mal ein bischen rumprobiert, ist es richtig , dass die einzigen beiden zweistelligen operatoren, die auch Gruppenoperatoren sind, die folgenden sind:
1. *mit a*a=a b*b=a a*b=b b*a=b
2. *mit a*a=b b*b=b a*b=a b*a=a
* ist der operator
danke für deine Hilfe
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Gruß!
Ja, das ist richtig, nur die beiden kommen in Frage. Der Grund dafür ist folgender: eine Gruppe muß ein neutrales Element haben.
Fall 1: $a$ ist neutrales Element. Dann folgt aber schon: $a*a = a$ und ebenso $a*b=b*a=b$. Nun muß $b$ aber noch ein invereses Element haben und das kann nicht $a$ sein, also muß $b$ zu sich selbst invers sein und dann folgt $b*b = a$ und das war Dein 1. Fall.
Fall 2: $b$ ist neutrales Element. Dann geht alles genauso wie in Fall 1, nur $a$ und $b$ tauschen die Rollen.
Wie man an der Argumentation erkennt, gibt es keine anderen Möglichkeiten. 
*auf die Schulter klopf* Du hast also alles richtig gemacht!
Lars
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