matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenRelationenRelationen zw. Abbildungen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Relationen" - Relationen zw. Abbildungen
Relationen zw. Abbildungen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Relationen zw. Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Sa 13.11.2010
Autor: Garfield112

Aufgabe
Seien X, Y nicht-leere Mengen und sei f: X -> Y eine Abbildung.

a) Betrachte folgende Relation auf Y: [mm] y_1 [/mm] ~ [mm] y_2 [/mm] genau dann, wenn [mm] f^{-1}({y_1}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_2}). [/mm]
Ist ~ eine Äquivalenzrelation?

b) Sei [mm] \le [/mm] eine Ordnung auf Y. Betrachte die folgende Relation [mm] [\le] [/mm] auf X:
[mm] x_1 [\le] x_2 [/mm] genau dann, wenn [mm] f(x_1) \le f(x_2) [/mm]

1) Entscheide ob [mm] [\le] [/mm] reflexiv, antisymmetrisch oder transitiv ist.
2) Für welche Abbildungen f ist [mm] [\le] [/mm] eine Ordnung auf X?

(Ich habe [mm] [\le] [/mm] für in eckigen Klammern für ein geschwungenes Kleiner-Gleich-Zeichen verwendet, da ich ein solches hier nicht gefunden habe)

Hi,

ich bin mir bei Relationen noch ziemlich unsicher. Vllt könnte ja jemand einen Blick auf meine Lösungen werfen und schauen, ob diese einigermaßen in Ordnung sind:

Zu a)
Reflexivität:
Wegen [mm] f^{-1}({y_1}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_1} [/mm] ist [mm] (y_1,y_1) [/mm] für jedes [mm] y_1 \in [/mm] X, also R reflexiv

Symmetrie:
Seien [mm] (y_1,y_2),(y_2,y_1) \in [/mm] R. Dann gilt
[mm] f^{-1}({y_1}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_2}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_1}). [/mm] Also ist R symmetrisch.
Dabei müsste ja dann [mm] y_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] = [mm] y_3 [/mm] sein, da verschiedene Mengen aus Y nicht das gleiche Urbild haben können, da f sonst keine Abbildung wäre, oder?

Transitivität:
Seien [mm] (y_1,y_2),(y_2,y_3) \in [/mm] R. Dann gilt
[mm] f^{-1}({y_1}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_2}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_3}) [/mm]
Also ist R transitiv.

Zur b)
Hier hat unser Tutor gemeint, dass wir das [mm] \le [/mm] auf Y nicht also "normales" [mm] \le [/mm] anschauen dürfen. Das verstehe ich nicht ganz, schließlich, wie soll ich sonst überhaupt überprüfen, ob [mm] f(x_1) \le f(x_2)? [/mm]

Ich bin etwas irritiert, wegen der Frage:
"Für welche Abbildungen f ist [mm] [\le] [/mm] eine Ordnung auf X?"

In b1) habe ich eig. gezeigt, dass [mm] [\le] [/mm] eine Ordnung für alle Abbildungen ist, wegen (verkürzt):
Reflexivität: f(x) [mm] \le [/mm] f(x) für alle (x,x) [mm] \el [/mm] R
Antisymmetrie: [mm] f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_1), [/mm] wenn [mm] (x_1, x_2), (x_2,x_1) \in [/mm] R.
Transitivität:  [mm] f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_3), [/mm] wenn [mm] (x_1, x_2), (x_2,x_3) \in [/mm] R.

Ist hier drin irgendwo ein Fehler?

Bin für jede Hilfe dankbar :)

Grüße,
Garfield



        
Bezug
Relationen zw. Abbildungen: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 So 14.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Seien X, Y nicht-leere Mengen und sei f: X -> Y eine
> Abbildung.
>  
> a) Betrachte folgende Relation auf Y: [mm]y_1[/mm] ~ [mm]y_2[/mm] genau dann,
> wenn [mm]f^{-1}(\{y_1\0))[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_2\}).[/mm]
>  Ist ~ eine Äquivalenzrelation?
>  
> b) Sei [mm]\le[/mm] eine Ordnung auf Y. Betrachte die folgende
> Relation [mm][\le][/mm] auf X:
>  [mm]x_1 [\le] x_2[/mm] genau dann, wenn [mm]f(x_1) \le f(x_2)[/mm]
>  
> 1) Entscheide ob [mm][\le][/mm] reflexiv, antisymmetrisch oder
> transitiv ist.
>  2) Für welche Abbildungen f ist [mm][\le][/mm] eine Ordnung auf
> X?
>  
> (Ich habe [mm][\le][/mm] für in eckigen Klammern für ein
> geschwungenes Kleiner-Gleich-Zeichen verwendet, da ich ein
> solches hier nicht gefunden habe)
>  Hi,
>  
> ich bin mir bei Relationen noch ziemlich unsicher. Vllt
> könnte ja jemand einen Blick auf meine Lösungen werfen
> und schauen, ob diese einigermaßen in Ordnung sind:
>  
> Zu a)
>  Reflexivität:
>  Wegen [mm]f^{-1}(\{y_1\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_1\})[/mm] ist [mm](y_1,y_1)[/mm] für
> jedes [mm]y_1 \in[/mm] X, also R reflexiv

Hallo,

ja.

>  
> Symmetrie:
>  Seien [mm](y_1,y_2),(y_2,y_1) \in[/mm] R.

Nein. Sondern: sei [mm] (y_1, y_2)\in [/mm] R

> Dann gilt
>  [mm]f^{-1}(\{y_1\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_2\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_1\}).[/mm]

Also ist [mm] (y_2,y_1)\in [/mm] R

> Also ist R
> symmetrisch.
>  Dabei müsste ja dann [mm]y_1[/mm] = [mm]y_2[/mm] = [mm]y_3[/mm] sein, da
> verschiedene Mengen aus Y nicht das gleiche Urbild haben
> können, da f sonst keine Abbildung wäre, oder?

Hier täuschst Du Dich. Denk mal drüber nach...

>  
> Transitivität:
>  Seien [mm](y_1,y_2),(y_2,y_3) \in[/mm] R. Dann gilt
>  [mm]f^{-1}(\{y_1\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_2\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_3\})[/mm]

Also ist ... [mm] \in [/mm] R

>  Also ist R transitiv.

>  
> Zur b)
>  Hier hat unser Tutor gemeint, dass wir das [mm]\le[/mm] auf Y nicht
> also "normales" [mm]\le[/mm] anschauen dürfen. Das verstehe ich
> nicht ganz, schließlich, wie soll ich sonst überhaupt
> überprüfen, ob [mm]f(x_1) \le f(x_2)?[/mm]

Es wird ja gesagt, daß [mm] \le [/mm] eine Ordnung auf Y ist, aber nirgendwo steht was davon, was für eine Menge Y ist. Insbesondere steht nichts davon geschrieben, daß [mm] Y\subseteq \IR [/mm] ist. In Y sind also nicht unbedingt gewöhnliche Zahlen.

Aber das macht ja nichts. Du hast Y und die Axiome für eine Ordnung.

Gruß v. Angela



>  
> Ich bin etwas irritiert, wegen der Frage:
>  "Für welche Abbildungen f ist [mm][\le][/mm] eine Ordnung auf X?"
>  
> In b1) habe ich eig. gezeigt, dass [mm][\le][/mm] eine Ordnung für
> alle Abbildungen ist, wegen (verkürzt):
>  Reflexivität: f(x) [mm]\le[/mm] f(x) für alle (x,x) [mm]\el[/mm] R
>  Antisymmetrie: [mm]f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_1),[/mm] wenn [mm](x_1, x_2), (x_2,x_1) \in[/mm]
> R.
>  Transitivität:  [mm]f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_3),[/mm] wenn [mm](x_1, x_2), (x_2,x_3) \in[/mm]
> R.
>  
> Ist hier drin irgendwo ein Fehler?
>  
> Bin für jede Hilfe dankbar :)
>  
> Grüße,
>  Garfield
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Relationen zw. Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:31 Mo 15.11.2010
Autor: Garfield112

Vielen Dank für deine Antwort, damit bin ich gut weitergekommen und bei b1) konnte ich nachweisen, dass die Relation nicht antisymmetrisch für alle Abbildungen ist. da z.B. f(-3) = f(3) für f(x) = [mm] x^{2}. [/mm]

Den gleichen Ansatz habe ich bei der Transitivität, hier sage ich:
[mm] f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_3) [/mm] und wähle [mm] x_1 [/mm] = 3, [mm] x_2 [/mm] = 3 und [mm] x_3 [/mm] = -3
damit ist f(3) [mm] \le [/mm] f(-3), denn 9 [mm] \le [/mm] 9, aber 3 [mm] \le [/mm] -3 ist ein Widerspruch.
Ist das jetzt wirklich ein Widerspruch? Weil ich ja scheinbar gar nicht genau weiß, wie [mm] \le [/mm] definiert ist. Oder ist die Relation tatsächlich transitiv?

Bezug
                        
Bezug
Relationen zw. Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:17 Mo 15.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Vielen Dank für deine Antwort, damit bin ich gut
> weitergekommen und bei b1) konnte ich nachweisen, dass die
> Relation nicht antisymmetrisch für alle Abbildungen ist.
> da z.B. f(-3) = f(3) für f(x) = [mm]x^{2}.[/mm]

Hallo,

ja.

>
> Den gleichen Ansatz habe ich bei der Transitivität, hier
> sage ich:
> [mm]f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_3)[/mm] und wähle [mm]x_1[/mm] = 3, [mm]x_2[/mm] = 3
> und [mm]x_3[/mm] = -3
>  damit ist f(3) [mm]\le[/mm] f(-3), denn 9 [mm]\le[/mm] 9, aber 3 [mm]\le[/mm] -3 ist
> ein Widerspruch.
>  Ist das jetzt wirklich ein Widerspruch?


Nein.
Es geht hier ja nicht um die normale [mm] \le-Relation, [/mm] sondern um [mm] [\le]. [/mm]

> Weil ich ja
> scheinbar gar nicht genau weiß, wie [mm]\le[/mm] definiert ist.
> Oder ist die Relation tatsächlich transitiv?  

Ja.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Relationen zw. Abbildungen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 03:21 Mo 15.11.2010
Autor: Garfield112

Halt, mein letzter Beitrag war denke ich nicht richtig. ob 3 [mm] \le [/mm] -3 ist oder nicht, interessiert überhaupt nicht, es heißt ja nur, dass [mm] (x_1,x_2) \el [/mm] R sein müssen (bin mit den geschwungenen Klammern durcheinandergekommen, die bei uns verwendet werden).
Also denke ich, dass die Relation doch transitiv ist.

Bezug
                        
Bezug
Relationen zw. Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:18 Mo 15.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Halt, mein letzter Beitrag war denke ich nicht richtig. ob
> 3 [mm]\le[/mm] -3 ist oder nicht, interessiert überhaupt nicht, es
> heißt ja nur, dass [mm](x_1,x_2) \el[/mm] R sein müssen (bin mit
> den geschwungenen Klammern durcheinandergekommen, die bei
> uns verwendet werden).
>  Also denke ich, dass die Relation doch transitiv ist.

Genau.

Gruß v. Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]