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| Aufgabe | Seien X, Y nicht-leere Mengen und sei f: X -> Y eine Abbildung.
a) Betrachte folgende Relation auf Y: [mm] y_1 [/mm] ~ [mm] y_2 [/mm] genau dann, wenn [mm] f^{-1}({y_1}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_2}).
[/mm]
Ist ~ eine Äquivalenzrelation?
b) Sei [mm] \le [/mm] eine Ordnung auf Y. Betrachte die folgende Relation [mm] [\le] [/mm] auf X:
[mm] x_1 [\le] x_2 [/mm] genau dann, wenn [mm] f(x_1) \le f(x_2)
[/mm]
1) Entscheide ob [mm] [\le] [/mm] reflexiv, antisymmetrisch oder transitiv ist.
2) Für welche Abbildungen f ist [mm] [\le] [/mm] eine Ordnung auf X?
(Ich habe [mm] [\le] [/mm] für in eckigen Klammern für ein geschwungenes Kleiner-Gleich-Zeichen verwendet, da ich ein solches hier nicht gefunden habe) |
Hi,
ich bin mir bei Relationen noch ziemlich unsicher. Vllt könnte ja jemand einen Blick auf meine Lösungen werfen und schauen, ob diese einigermaßen in Ordnung sind:
Zu a)
Reflexivität:
Wegen [mm] f^{-1}({y_1}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_1} [/mm] ist [mm] (y_1,y_1) [/mm] für jedes [mm] y_1 \in [/mm] X, also R reflexiv
Symmetrie:
Seien [mm] (y_1,y_2),(y_2,y_1) \in [/mm] R. Dann gilt
[mm] f^{-1}({y_1}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_2}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_1}). [/mm] Also ist R symmetrisch.
Dabei müsste ja dann [mm] y_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] = [mm] y_3 [/mm] sein, da verschiedene Mengen aus Y nicht das gleiche Urbild haben können, da f sonst keine Abbildung wäre, oder?
Transitivität:
Seien [mm] (y_1,y_2),(y_2,y_3) \in [/mm] R. Dann gilt
[mm] f^{-1}({y_1}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_2}) [/mm] = [mm] f^{-1}({y_3})
[/mm]
Also ist R transitiv.
Zur b)
Hier hat unser Tutor gemeint, dass wir das [mm] \le [/mm] auf Y nicht also "normales" [mm] \le [/mm] anschauen dürfen. Das verstehe ich nicht ganz, schließlich, wie soll ich sonst überhaupt überprüfen, ob [mm] f(x_1) \le f(x_2)?
[/mm]
Ich bin etwas irritiert, wegen der Frage:
"Für welche Abbildungen f ist [mm] [\le] [/mm] eine Ordnung auf X?"
In b1) habe ich eig. gezeigt, dass [mm] [\le] [/mm] eine Ordnung für alle Abbildungen ist, wegen (verkürzt):
Reflexivität: f(x) [mm] \le [/mm] f(x) für alle (x,x) [mm] \el [/mm] R
Antisymmetrie: [mm] f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_1), [/mm] wenn [mm] (x_1, x_2), (x_2,x_1) \in [/mm] R.
Transitivität: [mm] f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_3), [/mm] wenn [mm] (x_1, x_2), (x_2,x_3) \in [/mm] R.
Ist hier drin irgendwo ein Fehler?
Bin für jede Hilfe dankbar :)
Grüße,
Garfield
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> Seien X, Y nicht-leere Mengen und sei f: X -> Y eine
> Abbildung.
>
> a) Betrachte folgende Relation auf Y: [mm]y_1[/mm] ~ [mm]y_2[/mm] genau dann,
> wenn [mm]f^{-1}(\{y_1\0))[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_2\}).[/mm]
> Ist ~ eine Äquivalenzrelation?
>
> b) Sei [mm]\le[/mm] eine Ordnung auf Y. Betrachte die folgende
> Relation [mm][\le][/mm] auf X:
> [mm]x_1 [\le] x_2[/mm] genau dann, wenn [mm]f(x_1) \le f(x_2)[/mm]
>
> 1) Entscheide ob [mm][\le][/mm] reflexiv, antisymmetrisch oder
> transitiv ist.
> 2) Für welche Abbildungen f ist [mm][\le][/mm] eine Ordnung auf
> X?
>
> (Ich habe [mm][\le][/mm] für in eckigen Klammern für ein
> geschwungenes Kleiner-Gleich-Zeichen verwendet, da ich ein
> solches hier nicht gefunden habe)
> Hi,
>
> ich bin mir bei Relationen noch ziemlich unsicher. Vllt
> könnte ja jemand einen Blick auf meine Lösungen werfen
> und schauen, ob diese einigermaßen in Ordnung sind:
>
> Zu a)
> Reflexivität:
> Wegen [mm]f^{-1}(\{y_1\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_1\})[/mm] ist [mm](y_1,y_1)[/mm] für
> jedes [mm]y_1 \in[/mm] X, also R reflexiv
Hallo,
ja.
>
> Symmetrie:
> Seien [mm](y_1,y_2),(y_2,y_1) \in[/mm] R.
Nein. Sondern: sei [mm] (y_1, y_2)\in [/mm] R
> Dann gilt
> [mm]f^{-1}(\{y_1\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_2\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_1\}).[/mm]
Also ist [mm] (y_2,y_1)\in [/mm] R
> Also ist R
> symmetrisch.
> Dabei müsste ja dann [mm]y_1[/mm] = [mm]y_2[/mm] = [mm]y_3[/mm] sein, da
> verschiedene Mengen aus Y nicht das gleiche Urbild haben
> können, da f sonst keine Abbildung wäre, oder?
Hier täuschst Du Dich. Denk mal drüber nach...
>
> Transitivität:
> Seien [mm](y_1,y_2),(y_2,y_3) \in[/mm] R. Dann gilt
> [mm]f^{-1}(\{y_1\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_2\})[/mm] = [mm]f^{-1}(\{y_3\})[/mm]
Also ist ... [mm] \in [/mm] R
> Also ist R transitiv.
>
> Zur b)
> Hier hat unser Tutor gemeint, dass wir das [mm]\le[/mm] auf Y nicht
> also "normales" [mm]\le[/mm] anschauen dürfen. Das verstehe ich
> nicht ganz, schließlich, wie soll ich sonst überhaupt
> überprüfen, ob [mm]f(x_1) \le f(x_2)?[/mm]
Es wird ja gesagt, daß [mm] \le [/mm] eine Ordnung auf Y ist, aber nirgendwo steht was davon, was für eine Menge Y ist. Insbesondere steht nichts davon geschrieben, daß [mm] Y\subseteq \IR [/mm] ist. In Y sind also nicht unbedingt gewöhnliche Zahlen.
Aber das macht ja nichts. Du hast Y und die Axiome für eine Ordnung.
Gruß v. Angela
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> Ich bin etwas irritiert, wegen der Frage:
> "Für welche Abbildungen f ist [mm][\le][/mm] eine Ordnung auf X?"
>
> In b1) habe ich eig. gezeigt, dass [mm][\le][/mm] eine Ordnung für
> alle Abbildungen ist, wegen (verkürzt):
> Reflexivität: f(x) [mm]\le[/mm] f(x) für alle (x,x) [mm]\el[/mm] R
> Antisymmetrie: [mm]f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_1),[/mm] wenn [mm](x_1, x_2), (x_2,x_1) \in[/mm]
> R.
> Transitivität: [mm]f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_3),[/mm] wenn [mm](x_1, x_2), (x_2,x_3) \in[/mm]
> R.
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> Ist hier drin irgendwo ein Fehler?
>
> Bin für jede Hilfe dankbar :)
>
> Grüße,
> Garfield
>
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Vielen Dank für deine Antwort, damit bin ich gut weitergekommen und bei b1) konnte ich nachweisen, dass die Relation nicht antisymmetrisch für alle Abbildungen ist. da z.B. f(-3) = f(3) für f(x) = [mm] x^{2}. [/mm]
Den gleichen Ansatz habe ich bei der Transitivität, hier sage ich:
[mm] f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_3) [/mm] und wähle [mm] x_1 [/mm] = 3, [mm] x_2 [/mm] = 3 und [mm] x_3 [/mm] = -3
damit ist f(3) [mm] \le [/mm] f(-3), denn 9 [mm] \le [/mm] 9, aber 3 [mm] \le [/mm] -3 ist ein Widerspruch.
Ist das jetzt wirklich ein Widerspruch? Weil ich ja scheinbar gar nicht genau weiß, wie [mm] \le [/mm] definiert ist. Oder ist die Relation tatsächlich transitiv?
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> Vielen Dank für deine Antwort, damit bin ich gut
> weitergekommen und bei b1) konnte ich nachweisen, dass die
> Relation nicht antisymmetrisch für alle Abbildungen ist.
> da z.B. f(-3) = f(3) für f(x) = [mm]x^{2}.[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Den gleichen Ansatz habe ich bei der Transitivität, hier
> sage ich:
> [mm]f(x_1) \le f(x_2) \le f(x_3)[/mm] und wähle [mm]x_1[/mm] = 3, [mm]x_2[/mm] = 3
> und [mm]x_3[/mm] = -3
> damit ist f(3) [mm]\le[/mm] f(-3), denn 9 [mm]\le[/mm] 9, aber 3 [mm]\le[/mm] -3 ist
> ein Widerspruch.
> Ist das jetzt wirklich ein Widerspruch?
Nein.
Es geht hier ja nicht um die normale [mm] \le-Relation, [/mm] sondern um [mm] [\le].
[/mm]
> Weil ich ja
> scheinbar gar nicht genau weiß, wie [mm]\le[/mm] definiert ist.
> Oder ist die Relation tatsächlich transitiv?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:21 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Garfield112 |
Halt, mein letzter Beitrag war denke ich nicht richtig. ob 3 [mm] \le [/mm] -3 ist oder nicht, interessiert überhaupt nicht, es heißt ja nur, dass [mm] (x_1,x_2) \el [/mm] R sein müssen (bin mit den geschwungenen Klammern durcheinandergekommen, die bei uns verwendet werden).
Also denke ich, dass die Relation doch transitiv ist.
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> Halt, mein letzter Beitrag war denke ich nicht richtig. ob
> 3 [mm]\le[/mm] -3 ist oder nicht, interessiert überhaupt nicht, es
> heißt ja nur, dass [mm](x_1,x_2) \el[/mm] R sein müssen (bin mit
> den geschwungenen Klammern durcheinandergekommen, die bei
> uns verwendet werden).
> Also denke ich, dass die Relation doch transitiv ist.
Genau.
Gruß v. Angela
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