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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 02.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Ich hänge bei einer Numerik-Aufgabe.
Mit einem Messgerät, welche nur Werte mit zwei Nachkommastellen liefert, wurde eine Grösse x aus den reellen Zahlen zu 1,01 gemessen.
Nun wird der Wert [mm] y:=x^2-1 [/mm] mit einer rel. Genauigkeit von 1% benötigt.
Benutze die Konditionszahl, um zu sehen, ob die Messung xon x schon genau genug ist.
Welche Messgenauigkeit muss nach dem jetzigen Informationsstand gefordert werden, um die benötigte Genauigkeit von y zu erhalten?
Kann mir bitte da mal einer erklären, wie ich da rangehen soll?
Bisher habe ich mal die Konditionszahl berechnet.
Da y diff´bar ist, gilt:
cond(y)=cond(f(x)) = |x|*|f´(x)| *1/f(x) = [mm] |2x^2|/(x^2+1)
[/mm]
Jetzt weiss ich aber nicht, wie es weitergeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Di 02.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Folgendes habe ich mir noch überlegt:
Der genaue Werte von x ist nicht bekannt, er wird durch die Messungenauigkeit zu x*=1.01 gemessen.
Statt y(x) erhält man y(x*), erhält also einen rel. Fehler = .... , welchen man über die Konditionszahl
bestimmen (annähern) kann, dabei ist die Konditionszahl möglichst gut abzuschätzen.
Der rel. Fehler berechnet sich durch [mm] |y(x)-y(x^*)|/|y(x)|=|x^2-1,02|/
Dies soll aber nun in Beez. zu cond besttimmt werden!
Es ist noch zu klären, wie gut die Messgenauigkeit sein muss, damit also ein besseres x* vorliegt und somit der rel. Fehler in y(x*) so klein wie gewünscht wird (ebenfalls über Konditionszahl, wie oben).
Leider finde ich aber keine passenden Abschätzungen!
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Hallo Wurzelpi,
> Der genaue Werte von x ist nicht bekannt, er wird durch die
> Messungenauigkeit zu x*=1.01 gemessen.
> Statt y(x) erhält man y(x*), erhält also einen rel. Fehler
> = .... , welchen man über die Konditionszahl
> bestimmen (annähern) kann, dabei ist die Konditionszahl
> möglichst gut abzuschätzen.
Ja, die Abschätzung der Konditionszahl erhält man indem man 1,01 einsetzt.
> Der rel. Fehler berechnet sich durch
> [mm]\bruch{|y(x)-y(x^*)|}{|y(x)|}=\bruch{|x^2-1,02|}{|x^2-1|}
[/mm]
Leider kennt man den "wahren" Wert x nicht weshalb dieser Ansatz zum "Zahlenwerte berechnen" nicht weiterbringt.
gruß
mathemaduenn
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Hallo Wurzelpi,
Du hast einen rel. Fehler in x multiplizierst ihn mit der Konditionszahl und erhälst den relativen Fehler in y.
[mm]cond_f(x) = \bruch{|x|*|f^'(x)|}{|f(x)|} = \bruch{|2x^2|}{|(x^2-1)|}[/mm] (kleiner Vorzeichenfehler)
Wenn Du hier 1,01 für x einsetzt erhälst Du nat. nur eine Näherung erster Ordnung für den rel. Fehler in y.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Joergi |
Wir haben 1.01 eigesetzt und erhalten [mm] \bruch{x}{f(x)}*f^{'}(x) = \bruch{2x^2}{x^2-1} = \bruch {2*(1.01)^2}{(1.01)^2-1} = \bruch{2.04}{0.02} = 102[/mm]
Was sagt uns diese Zahl und wie kann man damit weiterarbeiten??
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Hallo Joergi,
Das bedeutet der relative Fehler in y ist ungefähr 102 mal so groß wie der relative Fehler in x.
Jetz müsstet ihr also den relativen Fehler in x ausrechnen und schauen ob der mit 102 multipliziert über 1% liegt. Wird wohl so sein.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Joergi |
Aber der relative Fehler berechnet sich ja durch [mm] |\bruch{x^{*} - x}{x}|[/mm]. Aber wir kennen nur [mm] x^{*}[/mm]. Wie soll man damit denn den relativen Fehler ausrechnen?
Wo bekomme ich das x her??
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Hallo Joergi,
Du kennst dieses "wahre" x nicht ,aber Du kannst Dir überlegen wie groß der Fehler maximal sein kann. Abschätzen eben.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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