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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 So 07.11.2010 | | Autor: | JohnB |
| Aufgabe | Es mögen, im System S, zwei Ereignisse am Koordinatenursprung und in einer Entfernung X auf der x-Achse zur gleichzeitig zur Zeit t=0 stattfinden. Das Zeitintervall bezüglich S' sei T. Zeigen Sie, dass der räumliche Abstand zwischen den beiden Ereignissen im System S' durch
[math] (X^2+T^2)^{\bruch{1}{2}} [/math]
gegeben ist und bestimmen Sie die Relativgeschwindigkeit beider Koordinatensysteme in Abhängigkeit von X und T. |
Den ersten Aufgabenteil habe ich bereits gemacht. Also brauche für den zweiten Teil die Geschwindigkeit, die im k-Kalkül steckt. T ist hier ja t'-t, wobei das Ereigniss am Koordinatenursprung in S stattfindet, wenn die Ursprünge von S und S' überlappen(habe ich so festgelegt - zur Vereinfachung). Das zweite Ereigniss in S' findet entweder davor oder danach statt(abhängig von der Geschwindigkeitsrichtung)
Es gibt die Gleichungen:
[math] t'-x'=k*(t-x) [/math] (1)
,
[math] t+x=k(t'+x') [/math] (2)
, die speziellen Lorentztransformationsgleichungen in relativistischen Einheiten und die Gleichung, die sich aus den ersten beiden ergibt:
[math] t'^2-x'^2=t^2-x^2 [/math] (3)
Um die Relativgeschwindigkeit in Abhängigkeit von X und T errechnen zu können, brauche ich demnach t, t' und x.
Dafür nehme ich die erste Gleichung und subtrahiere mit t'
[math] -x'=k(t-x)-x [/math]
und multipliziere mit -1
[math] x'=-k(t-x)+x [/math]
Das setze ich in die zweite Gleichung ein und habe dann:
[math] t+x=k(t'+(-k(t-x)+t') [/math]
Vereinfacht:
[math] t+x=kt'+k(-k(t-x)+t') [/math]
[math] t+x=kt'-k^2(t-x)+kt') [/math]
[math] t+x=kt'-tk^2-kx+kt') [/math]
Das Quadrat ist störend, sonst könnte ich k ausklammern und durch die Klammer teilen und dann vereinfachen und den k-Kalkül einsetzen, um dann weiter nach v aufzulösen.
Ich bitte um Hilfe.
( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mo 08.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es mögen, im System S, zwei Ereignisse am
> Koordinatenursprung und in einer Entfernung X auf der
> x-Achse zur gleichzeitig zur Zeit t=0 stattfinden. Das
> Zeitintervall bezüglich S' sei T. Zeigen Sie, dass der
> räumliche Abstand zwischen den beiden Ereignissen im
> System S' durch
>
> [math](X^2+T^2)^{\bruch{1}{2}}[/math]
>
> gegeben ist und bestimmen Sie die Relativgeschwindigkeit
> beider Koordinatensysteme in Abhängigkeit von X und T.
> Den ersten Aufgabenteil habe ich bereits gemacht. Also
> brauche für den zweiten Teil die Geschwindigkeit, die im
> k-Kalkül steckt. T ist hier ja t'-t, wobei das Ereigniss
> am Koordinatenursprung in S stattfindet, wenn die
> Ursprünge von S und S' überlappen(habe ich so festgelegt
> - zur Vereinfachung). Das zweite Ereigniss in S' findet
> entweder davor oder danach statt(abhängig von der
> Geschwindigkeitsrichtung)
> Es gibt die Gleichungen:
>
> [math]t'-x'=k*(t-x)[/math] (1)
>
> ,
>
> [math]t+x=k(t'+x')[/math] (2)
>
> , die speziellen Lorentztransformationsgleichungen in
> relativistischen Einheiten und die Gleichung, die sich aus
> den ersten beiden ergibt:
>
> [math]t'^2-x'^2=t^2-x^2[/math] (3)
>
> Um die Relativgeschwindigkeit in Abhängigkeit von X und T
> errechnen zu können, brauche ich demnach t, t' und x.
>
> Dafür nehme ich die erste Gleichung und subtrahiere mit
> t'
>
> [math]-x'=k(t-x)-x[/math]
$ [mm] -x'=k(t-x)-\red{t'}$
[/mm]
> und multipliziere mit -1
>
> [math]x'=-k(t-x)+x[/math]
$ [mm] x'=-k(t-x)+\red{t'}$
[/mm]
> Das setze ich in die zweite Gleichung ein und habe dann:
>
> [math]t+x=k(t'+(-k(t-x)+t')[/math]
>
> Vereinfacht:
>
> [math]t+x=kt'+k(-k(t-x)+t')[/math]
>
> [math]t+x=kt'-k^2(t-x)+kt')[/math]
>
> [math]t+x=kt'-tk^2-kx+kt')[/math]
$ [mm] t+x=kt'-tk^2-\red{k^2}x+kt' [/mm] = 2kt' [mm] -k^2 [/mm] (t-x) $
Das ist eine quadratische Gleichung für k.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mo 08.11.2010 | | Autor: | JohnB |
[math] t+x= 2kt' -k^2 (t-x) [/math]
Stimmt, da habe ich einen kleinen Flüchtigkeitsfehler gemacht.
Aber weiter im Programm:
Das ergibt dann:
[math] 0=\bruch{k^2}{t-x}-2kt'+(t-x) [/math]
Ich teile durch t-x
[math] 0=k^2-\bruch{2kt'}{t-x}+1 [/math]
[math] \bruch{-2t'}{t-x} [/math] ist dann p (in der p-q-Formel) und q ist 1.
[math] k_{1/2}=\bruch{t'}{t-x} \pm \wurzel{\bruch{-t'}{t-x}^2-1} [/math]
Jetzt will ich die 1 aus die Wurzel bekommen, doch habe ich kein Wurzelgesetz gefunden, das mein Problem lösen könnte.
Wie geht es weiter und bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Mo 08.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [math]k_{1/2}=\bruch{t'}{t-x} \pm \wurzel{\bruch{-t'}{t-x}^2-1}[/math]
Der Term unter der Wurzel ist falsch. Du meinst
[mm]k_{1/2}=\bruch{t'}{t-x} + \wurzel{\bruch{t'^2}{(t-x)^2}-1}[/mm] .
(Wegen der Bedingung [mm] $k\ge [/mm] 1$ ist die zweite Lösung uninteressant.)
> Jetzt will ich die 1 aus die Wurzel bekommen, doch habe ich
> kein Wurzelgesetz gefunden, das mein Problem lösen
> könnte.
k ist ja nur der Weg zum Ziel. Setze k in
[mm] v = \bruch{k^2-1}{k^2+1} [/mm]
ein und vereinfache.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mo 08.11.2010 | | Autor: | JohnB |
Selbst wenn ich es da einsetze, weiß ich nicht weiter.
[math] v=\bruch{(\bruch{t'}{t-x}+\wurzel{\bruch{t'^2}{(t-x)^2}-1})^2-1}{(\bruch{t'}{t-x}+\wurzel{\bruch{t'^2}{(t-x)^2}-1})^2+1} [/math]
Ich wollte die eins aus der Wurzel bekommen, um dann die Wurzel und die Potenzen innerhalb der Wurzel entfernen zu können. Aber ich habe kein passendes Wurzelgesetz gefunden.
Ein passendes Potenzgesetz in der Form: [mm] (a+b)^2=... [/mm] habe ich auch nicht gefunden, denn sonst könnte ich die Wurzel loswerden, aber ich finde kein Gesetz.
Ich wäre für die nochmalige Hilfe sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Di 09.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
mir fällt gerade auf, dass deine quadratische Gleichung fehlerhaft hergeleitet ist. Aus
[mm] t+x= 2kt' -k^2 (t-x) $ [/mm]
folgt
[mm] 0=k^2-\bruch{2kt'}{t-x}+ \bruch{t+x}{t-x} [/mm]
und daher
[mm] k= \bruch{1}{t-x}\left(t'+\wurzel{t'^2+x^2-t^2}\right) [/mm]
> Selbst wenn ich es da einsetze, weiß ich nicht weiter.
>
> [math]v=\bruch{(\bruch{t'}{t-x}+\wurzel{\bruch{t'^2}{(t-x)^2}-1})^2-1}{(\bruch{t'}{t-x}+\wurzel{\bruch{t'^2}{(t-x)^2}-1})^2+1}[/math]
>
> Ich wollte die eins aus der Wurzel bekommen, um dann die
> Wurzel und die Potenzen innerhalb der Wurzel entfernen zu
> können. Aber ich habe kein passendes Wurzelgesetz
> gefunden.
[mm] \bruch{k^2-1}{k^2+1} = \bruch{(t'+\wurzel{t'^2+x^2-t^2})^2 - (t-x)^2}{(t'+\wurzel{t'^2+x^2-t^2})^2 + (t-x)^2}[/mm]
[mm] = \bruch{(t'+\wurzel{t'^2+x^2-t^2})^2 + (t-x)^2 - 2(t-x)^2}{(t'+\wurzel{t'^2+x^2-t^2})^2 + (t-x)^2}[/mm]
[mm] = 1 - \bruch{2(t-x)^2}{(t'+\wurzel{t'^2+x^2-t^2})^2 + (t-x)^2} [/mm]
[mm] = 1 - \bruch{2(t-x)^2}{2t'^2+2x^2-2xt +2t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2}} = 1- \bruch{(t-x)^2}{t'^2+x^2-xt +t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2}} [/mm]
Jetzt erweitern, damit die Wurzel verschwindet:
[mm] = 1- \bruch{(t-x)^2(t'^2+x^2-xt- t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2})}{(t'^2+x^2-xt+ t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2})(t'^2+x^2-xt- t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2})} [/mm]
[mm] = 1 - \bruch{(t-x)^2(t'^2+x^2-xt- t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2})}{(t'^2+x^2-xt)^2 - t'^2(t'^2+x^2-t^2)} = 1 - \bruch{(t-x)^2(t'^2+x^2-xt- t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2})}{(t'^2+x^2)(t-x)^2}[/mm]
[mm] = 1 - \bruch{t'^2+x^2-xt- t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2}}{t'^2+x^2} = \bruch{xt+t'\wurzel{t'^2+x^2-t^2}}{t'^2+x^2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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