Rentenformel ist gefragt!! < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Dante |
Hallo Leutz,
Ihr habt mir schon sehr weitergeholfen, hier noch eine Bitte.
Also, die Aufgabe lautet:
Elvira möchte Geld in ihre Weiterbildung investieren. Sie schätzt, dass sie für die geplanten Kurse jeweils Ende Jahr einen Betrag von 8655.- benötigen wird. Der aktuelle Saldo ihres Kontos lautet bei einem Zinssatz von 4.5% auf den Betrag von 42350.50.
Während welchen Zeitraum kann Elvira ihre Weiterbildungskosten mit den Ersparnissen finanzieren?
Die Lösung ist:
((42350.5*1.045-8655)*1.045-8655)...
Doch ich war mir sicher diese Aufgabe ist auch mit einer Formel zu lösen!
Kann mir jemand dabei helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mo 11.07.2005 | | Autor: | ocram |
Hallo
da gibt es eine Formel:
Wird ein vorhandener Betrag [mm] K_{o} [/mm] durch Abhebung eines festen betrages R jeweils am Jahresende vermindert, so beträgt bei p% Zinsen pro Jahr das Kapital nach n Jahren:
[mm] K_{n} =K_{o}*q^{n}- \bruch{R( q^{n} - 1)}{ q -1 }
[/mm]
mit q= [mm] \bruch{100+p}{100}
[/mm]
Ich hoff ich hab die Formel richtig abgeschrieben...
Jetzt kannst dir ausprobieren wie lange das Kapital reicht oder aber versuchen den ganzen Laden nach n umzustellen....
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Hallo!
Also ich habe das so gerechnet: [mm] 42350{,}5*1{,}045^{x}-8655x=0 \rightarrow x \approx 6,519621 [/mm]. Sie kann also die Weiterbildung mit ihrem Kapital für gut 6,5 Jahre finanzieren. Stimmt das? Wenn ja, wäre das doch viel einfacher als diese Rentenformel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Fr 15.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> [mm]42350{,}5*1{,}045^{x}-8655x=0 \rightarrow x \approx 6,519621 [/mm].
mal abgesehen davon, wie du dann x ausgerechnet hast, kannst du dein Ergebnis doch mal für n=2 überprüfen:
du erhälst : 28937,804
aber eigentlich sollte (42350,5 * 1,045 -8655)*1,045-8655 = 28548,32 rauskommen
Der Fehler ist, dass du die Zinsen immer auf den vollen Anfangsbetrag aufsummierst - dabei geht ja eigentlich vorher im jahr schon was weg, d.h. danach gibt es nicht so viele Zinsen mehr.
Ich schreibe auch gleich noch was..
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge!
Ich verstehe meinen Fehler - das Kapital, das verzinst wird, wird natürlich immer kleiner. Da darf ich nicht Jahr für Jahr das Anfangskapital verzinsen. Erstmal Danke für deine Korrektur, ich les mir die Antworten alle durch und versuch,die nachzuvollziehen (durch stumpfes Einsetzen in die Formel lernt man ja nichts!).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Fr 15.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Halli Hallo,
es gibt eine kleine aber feine Umformung, die man sich zu Nutze machen kann - ich kenne sie nur leider nicht bis zum Schluß, deshalb hier nur mal der Ansatz - ich google mal dann nach der Umformung.
> Die Lösung ist:
> ((42350.5*1.045-8655)*1.045-8655)...
Genau, dies ist die Lösung, das ist doch klar, oder?
jetzt multiplizieren wir das mal für ein festes n aus:
dann steht die innerste Klammer (entspricht ja nach dem ersten Jahr) aufgelöst:
((42350,5*1,045²-8655*1,045-8655)*1,045-8655)*...
(innerste Klammer entspricht nun nach dem zweiten Jahr)
nochmal ausmultiplizieren, damit wir ein System erkennen:
(innerste Klammer entspricht nun nach dem dritten Jahr)
((42350,5*1,045³-8655*1,045²-8655*1,045-8655)*1,045-8655)*..
usw.
allgemein : nach n Jahren haben wir:
$ [mm] 42350,5*1,045^n-8655*1,045^{n-1}-8655*1,045^{n-2}-...-8655*1,045^2-8655*1,045 [/mm] - 8655$
wenn man nun 8655 im letzten Teil ausklammert, steht da nach n Jahren:
$ [mm] 42350,5*1,045^n-8655*(1,045^{n-1}+1,045^{n-2}+...+1,045^2+1,045+1,045^0) [/mm] $
Oder um es anders zu sagen: statt immer weniger Zinsen zu bekommen, erhöhen wir einfach immer den Wert, der abgezogen würde...
Ich bin mir sicher, jemand mit einer Formelsammlung kann die letzte Klammer noch vereinfachen - wenn 2 die Basis waäre, könnte ich das auch ohne Probleme, aber so, muss man wohl mehr tricksen...
(ich google mal..)
EDIT: ich habs jetzt gefunden, glaube ich:
es gilt: $ [mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}$
[/mm]
(siehe zum Beispiel : ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe)
Wir müssen nun aber aufpassen, dass unsere Summe nur bis (n-1) geht und dass wir kein [mm] 1,045^0=1 [/mm] mit als Summand da stehen haben.
Also :
$ [mm] (1,045^{n-1}+1,045^{n-2}+...+1,045^2+1,045+1) [/mm] = [mm] (1,045^{n-1}+1,045^{n-2}+...+1,045^2+1,045+1,045^{0}) [/mm] = [mm] \bruch{1,045^{n}-1}{1,045-1} [/mm] = [mm] \bruch{1,045^{n}-1}{0,045} [/mm] $
Eingesetzt in die Formel ist das Ergebnis nach n Jahren:
$ [mm] 42350,5*1,045^n-8655*\bruch{1,045^{n}-1}{0,045}$
[/mm]
und das müsste in etwa dieselbe Formel sein, wie oben schonmal angegeben.
EDIT2 : oder die Formel folgende Formel von Thorsten verwenden 
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Fr 15.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DaMenge!
Bei Deiner Klammer handelt es sich doch um eine geometrische Reihe:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k [/mm] \ = \ [mm] q^1 [/mm] + [mm] q^2 [/mm] + [mm] q^3 [/mm] + ... + [mm] q^n [/mm] \ = \ [mm] \red{q}*\bruch{q^n-1}{q-1}$ [/mm] (Formelsammlung)
Und damit kommen wir doch der o.g. Formel ziemlich nahe, oder?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Fr 15.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Thorsten,
ja, ist mir dann auch irgendwann aufgefallen - hatte es jetzt zwischenzeitlich editiert, aber Danke, dass du meine "Befürchtungen" bestätigst.
Man muss eben nur von den Summanden für k=0 aufpassen, danach hat man es...
(aber deine Formel beginnt gar nicht bei 0 ... naja, irgendwie passt es bestimmt - der Rest ist dem geneigten Leser überlassen.[Sollte dasselbe rauskommen])
btw: ich habe leider nur Info-Skripts zur Hand, weil ich nicht an meinem Heim-PC bin.
viele Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Fr 15.07.2005 | | Autor: | Josef |
Die Formel lautet:
[mm] 42.350,50*1,045^n [/mm] - 8655*[mm]\bruch{1,045^n -1}{1,045-1}[/mm]
n = 5,65 Jahre
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