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Forum "Uni-Finanzmathematik" - Rentenrechnung
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Rentenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Sa 17.06.2006
Autor: meanie

Aufgabe
Wie viel Praenumerando-Renten von 400,00 € können aus einem bei einer Bank eingezahlten kapital von 3.488,69 € bei einer 5%igen Verzinsung bezogen werden?

Hallo,

komme mit obiger Aufgabe nicht weiter; ich hoffe, mir kann jemand dabei helfen!
Da ich hier neu bin, werde ich versuchen meinen bisherigen Lösungsweg so aufzuführen, dass man ihn verstehen und lesen kann :-) :

gegeben:
r=400; Ro*=3.488,69; q=1,05

gesucht:
n=?

Formel für vorschüssigen Rentenbarwert:

[mm] Ro=r*q*\bruch{1}{q^n}*\bruch{q^n-1}{q-1} \gdw Ro=r*\bruch{1}{q^{n-1}}*\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm]

[mm] \bruch{Ro}{r}=\bruch{1}{q^{n-1}}*\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm]

[mm] \bruch{Ro*{(q-1)}}{r}=\bruch{1}{q^{n-1}}*q^n-1 [/mm]

[mm] \bruch{Ro*{(q-1)}}{r}+1=\bruch{1}{q^{n-1}}*q^n [/mm]


So, jetzt weiß ich nicht weiter ... mal ganz abgesehen davon, dass ich noch nicht einmal weiß, ob ich bis dahin richtig umgeformt hab [keineahnung]

Was ich weiß ist, dass ich nach n umformen muss, und das geht ja normalerweise mit logarithmieren ... aber wie?

Bitte, bitte helft mir [anbet]

Melanie

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Rentenrechnung: Ansatz der rohen Gewalt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Sa 17.06.2006
Autor: Karthagoras

Deine Formel sieht erstmal gut aus.

[mm] $Ro=r\cdot{}\bruch{1}{q^{n-1}}\cdot{}\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] $

und genau in diese Formel würde ich alles einsetzen, was bekannt ist:

[mm] $3488,69=400,00\cdot{}\bruch{1}{1,05^{n-1}}\cdot{}\bruch{1,05^n-1}{0,05} [/mm] $

n muss so ca. zwischen 9 und 15 liegen.
d.h. du musst höchstens 6 Werte durchprobieren.

Nach meiner Erfahrung entziehen sich gerade Rentenformeln hartnäckig bestimmten Lösungsversuchen.

Ich glaub mit der ist es genauso.

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Rentenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Sa 17.06.2006
Autor: meanie

Hallo Karthagoras,

erstmal danke für die promte Antwort :-)

Bin ja erstmal schon froh, dass ich dann wohl den Ansatz verstanden habe :-)

Allerdings sollen wir schon die Formel umstellen können! D. h., ich soll nicht irgendwelche Zahlen probeweiser einsetzen, sondern schon genau "rechnen" (also nach 'n' umstellen).

Was mich aber auf jeden Fall interessiert: Wie bist du darauf gekommen, dass die Zahl zwischen 9 und 15 liegen muss? [verwirrt]

Melanie

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Rentenrechnung: Übern dicken Daumen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Sa 17.06.2006
Autor: Karthagoras

[happy]
[mm] $3488,69÷400,00\approx8,72$ [/mm]

D.h. der Betrag von 3488,69 EUR reicht bereits für fast 9 Auszahlungen, falls dir das Geldinstitut überhaupt keine Zinsen bezahlt.

Eigentlich wäre bei meiner Schätzung rausgekommen, dass 12 Auszahlungen das höchste ist, was man erhoffen könnte.

Dann habe ich frech gedacht: „Mit 15 liege ich auf der sicheren Seite” und hab 15 gesagt.

Wenn du 11 einsetzt, siehst du, dass ich damit garnicht sooo schlecht gelegen habe.


Aber du hast recht, man kann das tatsächlich nach „n” auflösen.

Bezug
                        
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Rentenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Sa 17.06.2006
Autor: Josef

Hallo meanie,


>  
> Allerdings sollen wir schon die Formel umstellen können! D.
> h., ich soll nicht irgendwelche Zahlen probeweiser
> einsetzen, sondern schon genau "rechnen" (also nach 'n'
> umstellen).
>  

hier bietet sich die sogenannte "Sparkassenformel" an:

[mm]3.488,69*1,05^n - 400*1,05*\bruch{1,05^n -1}{0,05} = 0[/mm]

[mm] 3.488,69*1,05^n [/mm] - [mm] 8.000*1,05*(1,05^n [/mm] -1) = 0

[mm] 3.488,69*1,05^n -8.400*(1,05^n [/mm] -1) = 0

[mm] 1,05^n [/mm] *(3.488,69-8.400) + 8.400 = 0

[mm] 1,05^n [/mm] *(-4.911,31) = - 8.400

[mm] 1,05^n [/mm] = 1,7103379...

n = 11

Viele Grüße
Josef

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Bezug
Rentenrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Sa 17.06.2006
Autor: meanie

Hallo Josef,

wow *ganzerstauntguck*
Ich glaube aber nicht, dass wir das so rechnen sollen ... was mich ein wenig beruhigt, da ich das, was du aufgeschrieben hast, überhaupt nicht verstehe ;-)

Trotzdem danke!

Bezug
                
Bezug
Rentenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Sa 17.06.2006
Autor: meanie

[lichtaufgegangen]

Nu steht aber noch immer meine Frage aus, wie ich diese Formel nach 'n' umstellen muss/kann?!?  [verwirrt]
Wie gesagt, ich   muss die Aufgabe so lösen! [keineahnung]
Wir haben die Formeln bisher auch immer umgestellt, dass ist soweit auch kein Problem; das blöde hier ist, dass 'n' zweimal vorkommt!

Melanie

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Rentenrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Sa 17.06.2006
Autor: Karthagoras

Irgendwie komm ich im Moment nicht weiter.[verwirrt]
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Rentenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Sa 17.06.2006
Autor: meanie

Ja, soweit bin ich bis jetzt dann auch vorgedrungen [hot]

Aber wie geht es dann weiter? Habe aus

[mm] \bruch{Ro*{(q-1)}}{r*q}=\bruch{q^n-1}{q^n} [/mm]

zumindest schon mal

[mm] \bruch{Ro*{(q-1)}}{r*q}=1-\bruch{1}{q^n} [/mm]

und dann mit den Befehlen -1 und *(-1) das ganze zu

[mm] 1-\bruch{Ro*{(q-1)}}{r*q}=\bruch{1}{q^n} [/mm]

umgeformt.

Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter! Wie bekomme ich jetzt von [mm] \bruch{1}{q^n} [/mm] das n weg?

Das ist doch echt zum Haare raufen!

Übrigens, wollte nur mal sagen, dass ich es total klasse finden, dass auf Fragen so schnell geantwortet wird! [prost]

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Rentenrechnung: Rotes Licht aus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Sa 17.06.2006
Autor: Karthagoras

Frage ist erledigt!

Bezug
                                        
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Rentenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 So 18.06.2006
Autor: Markus_s

[mm] 1-\bruch{Ro\cdot{}{(q-1)}}{r\cdot{}q}=\bruch{1}{q^n} [/mm]

[mm] log_{q} (1-\bruch{Ro\cdot{}{(q-1)}}{r\cdot{}q})=-n [/mm]

[mm] n= -log_{q} (1-\bruch{Ro\cdot{}{(q-1)}}{r\cdot{}q}) [/mm]

11 Jahre stimmt.

Stand nirgends, daher hier die Umformung für n.

Gruß

Markus

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Bezug
Rentenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Sa 17.06.2006
Autor: Karthagoras

  1. $ [mm] 3488,69=400,00\cdot{}\bruch{1}{1,05^{n-1}}\cdot{}\bruch{1,05^n-1}{0,05} [/mm] $
  2. $ [mm] 8,721725=\bruch{1,05}{1,05^n}\cdot{}\bruch{1,05^n-1}{0,05} [/mm] $
  3. $ [mm] 8,721725=\bruch{1,05}{0,05}\cdot{}\bruch{1,05^n-1}{1,05^n} [/mm] $
  4. $ [mm] 8,721725\cdot{}\bruch{0,05}{1,05}=\bruch{1,05^n-1}{1,05^n} [/mm] $
  5. $ [mm] 0,415320238=\bruch{1,05^n-1}{1,05^n} [/mm] $
  6. $ [mm] 0,415320238\cdot{}1,05^n=1,05^n-1 [/mm] $
  7. $ [mm] 1=1,05^n-0,415320238\cdot{}1,05^n [/mm] $
  8. $ [mm] 1=\left[1-0,415320238\right]\cdot{}1,05^n [/mm] $
  9. $ [mm] \frac{1}{0,584679762}=1,05^n [/mm] $
  10. $ [mm] 1,710337975=1,05^n [/mm] $


Ich geh kaputt!! Wer kommt mit??

Gell, den Rest kriegste selber hin??!!




Bezug
                                
Bezug
Rentenrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Sa 17.06.2006
Autor: meanie

[happy]

Ja, supi, mein Taschenrechner sagt: 11 Jahre!!!!!

Vielen, vielen, vielen Dank!!!

[prost]  [mm] \Rightarrow [/mm] Das hast du dir jetzt verdient !!!

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