Rentenrechnung < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:23 Do 08.03.2012 | | Autor: | bionda |
| Aufgabe | Frau Jonas hat im Lotto gewonnen und möchte den Gewinn i. H. v. 237.000 EUR zu 3,9% anlegen. Jeweils nach Ablauf eines Jahres möchte sie 12.000 EUR abheben.
a) Wie viel ganze Jahre kann diese Rente gezahlt werden?
b) Bei welcher Jahresrente wird das Kapital nicht angetastet? |
Hallo,
ich bin leider total verzwifelt. Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und komme seit Stunden nicht weiter. Laut Lösungshinweis soll bei a) 38,44 Jahre rauskommen....ich komme leider nicht auf diese Zahl. Bei mir waren es 18 Jahre.
Ich habe versucht die Formel für den nachschüssigen Rentenbarwert umzustellen. War das falsch? Und warum fällt mir das Logarithmieren so schwer ;-(
Ich würde mich unglaublich über eure Hilfe freuen. Möglicherweise muss ch euch morgen noch mit weiteren Fragen nerven. Ich mache ein Fernstudium und habe niemanden, den ich fragen kann......
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Do 08.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Edit: Meine Antwort hier zu b) beantwortet eine andere Frage als die, die wirklich in b) gestellt wurde. Siehe auch die anderen Mitteilungen, insbesondere von Ullim!
> Frau Jonas hat im Lotto gewonnen und möchte den Gewinn i.
> H. v. 237.000 EUR zu 3,9% anlegen. Jeweils nach Ablauf
> eines Jahres möchte sie 12.000 EUR abheben.
> a) Wie viel ganze Jahre kann diese Rente gezahlt werden?
> b) Bei welcher Jahresrente wird das Kapital nicht
> angetastet?
> Hallo,
>
> ich bin leider total verzwifelt. Ich bereite mich gerade
> auf eine Klausur vor und komme seit Stunden nicht weiter.
> Laut Lösungshinweis soll bei a) 38,44 Jahre
> rauskommen....ich komme leider nicht auf diese Zahl. Bei
> mir waren es 18 Jahre.
ich kenne mich mit den "Fachbegriffen" (s.u.) nicht aus, aber mathematisch kann ich Dir sagen, was hier zu machen ist:
Startkapital ist [mm] $K_0$ [/mm] Euro
Nach einem Jahr bleiben [mm] $K_1=(1.039*K_0-12000)$ [/mm] Euro auf der Bank.
Somit: Nach dem zweiten Jahr [mm] $K_2=(1.039*K1-12000)$ [/mm] Euro. Das kann man schreiben als
[mm] $$K_2=1.039^2K_0-1.039*12000-12000\,.$$
[/mm]
Nach dem dritten Jahr [mm] $K_3=1.039*K_2-12000=1.039^3K_0-12000*(1+1.039+1.039^2)\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $\sum_{k=0}^{n-1} q^k=(1-q^{n})/(1-q)$ [/mm] also nach dem [mm] $n\,$-ten [/mm] Jahr:
[mm] $$K_n=1.039^n*K_0-12000*\frac{1-1.039^{n}}{1-1.039}\,.$$
[/mm]
Setze nun [mm] $K_n=0$ [/mm] und löse die Gleichung nach [mm] $n\,$ [/mm] auf, wobei Du [mm] $K_0$ [/mm] ja oben angegeben hast. Wenn Du [mm] $K_n$ [/mm] als [mm] $f(x)\,$ [/mm] auffasst (die Jahre laufen auf der Abszisse), kannst Du das ganze dann ja auch schreiben als
[mm] $$f(x)=1.039^x*K_0-12000*\frac{1-1.039^{x}}{1-1.039}\,.$$
[/mm]
Wenn Du Dir dann mal [mm] $f\,$ [/mm] plotten läßt (etwa mit Funkyplot) und die Nullstelle suchst (ich habe mir - ehrlich gesagt - noch keine Gedanken dazu gemacht, ob es evtl. mehrere gibt!) oder sie Dir mit Funkyplot ausgeben läßt, kommt man in der Tat auf 38.4.
Wie hast Du das denn berechnet? Rechne es mal vor!
> Ich habe versucht die Formel für den nachschüssigen
> Rentenbarwert umzustellen. War das falsch?
Keine Ahnung. Ich kenne diese Begriffe nicht. Aber die mathematische Vorgehensweise hier ist mir absolut klar, und die vorgegebene Lösung ist demnach absolut korrekt!
> Und warum fällt
> mir das Logarithmieren so schwer ;-(
Da erwartest Du hoffentlich keine ernsthafte Antwort drauf. Falls doch: Weil Du Dich anscheinend noch nicht genug mit der Exponentialfunktion auseinandergesetzt hast 
> Ich würde mich unglaublich über eure Hilfe freuen.
> Möglicherweise muss ch euch morgen noch mit weiteren
> Fragen nerven. Ich mache ein Fernstudium und habe
> niemanden, den ich fragen kann......
Bei Teil b) will man wohl haben, dass [mm] $K_n=K_0$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] - anstatt der 1.039 steht dann halt überall entsprechend [mm] $(1+p/100)\,.$
[/mm]
Das ist aber genau dann der Fall, wenn schon [mm] $K_1=K_0\,.$ [/mm] Also folgt dort die Bedingung
[mm] $$K_0=(1+p/100)^1*K_0-12000*\frac{1-(1+p/100)^1}{1-(1+p/100)}$$
[/mm]
bzw. nach Vereinfachungen und einsetzen von [mm] $K_0$ [/mm] dann
[mm] $$\frac{p}{100}K_0=12000$$
[/mm]
[mm] $$\gdw p=\frac{12000*100}{237000}\,,$$
[/mm]
was man ja auch sofort hätte hinschreiben können. Also:
So etwa [mm] $\,5.0633$ [/mm] % wären nicht schlecht, damit sie immer 237.000 Euro auf der Bank hat und dennoch jedes Jahr 12000 Euro abheben kann!
Ergänzend:
Wenn Du a) richtig aufschreibst, kommst Du am Ende zu der Gleichung
[mm] $$1.039^n=\frac{12000}{12000-0.039*237000}\,.$$
[/mm]
Damit dann zu der (einzigen) Lösung
[mm] $$n=\ln(\;12000/(12000-0.039*237000)\;)/\ln(1.039)=38.44...$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Fr 09.03.2012 | | Autor: | ullim |
Ich denke es geht bei b) um die Rente bei gegebener Verzinsung und nicht um die Verzinsung bei gegebener Rente.
Dir Rate ist [mm] K_0*p [/mm] mit p=3.9% also ca. 9243 €
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich denke es geht bei b) um die Rente bei gegebener
> Verzinsung und nicht um die Verzinsung bei gegebener
> Rente.
>
> Dir Rate ist [mm]K_0*p[/mm] mit p=3.9% also ca. 9243 €
stimmt, da habe ich eine Frage beantwortet, die so gar nicht gestellt worden ist: Ich hätte also angegeben, bei welchem [mm] $p\,$ [/mm] sich das Kapital nicht ändert. Damit ist Deine Antwort natürlich die bzgl. der Frage in der Aufgabenstellung die richtige (die ich zwar noch langweiliger oder genauso langweilig finde, wie die Aufgabe, die ich gelöst hätte - aber da das ja die Frage war und ich hier keine neuen Aufgaben erfinden sollte: Natürlich hast Du recht: [mm] $237000*3.9/100=9243\,.$ [/mm] Mein Taschenrechner gibt mir da ein echtes gleich aus!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:33 Fr 09.03.2012 | | Autor: | bionda |
Lieber Marcel,
1.000 Dank für deine Antwort!
Deine Rechnung kann ich nachvollziehen. Aber ich kann deine gewählte Formel nicht mit meinen Formeln übereinbringen..... ;-( Vielleicht kann mir irgendjemand noch verraten, welche Formel das bei der Rentenrechnung wäre....
Teil b) habe ich kapiert und kann das mit meinen Formeln übereinbringen.
Herzlichen Dank!!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lieber Marcel,
>
> 1.000 Dank für deine Antwort!
>
> Deine Rechnung kann ich nachvollziehen. Aber ich kann deine
> gewählte Formel nicht mit meinen Formeln
> übereinbringen..... ;-( Vielleicht kann mir irgendjemand
> noch verraten, welche Formel das bei der Rentenrechnung
> wäre....
warten wir auf Ullim. Wie gesagt: Ich kenne mich in Finanzmathe nicht aus, daher kenne ich nicht die Namen für Eure Formeln...
> Teil b) habe ich kapiert und kann das mit meinen Formeln
> übereinbringen.
Ohje... Ullim hat mich drauf aufmerksam gemacht, dass ich da eine Frage beantwortet habe, die nicht gestellt war. Ich hätte beantwortet, bei welchem Zinssatz das Kapital unangetastet bleibt, wenn man jedes Jahr 12000 Euro abhebt. Die Frage war aber eigentlich, wieviel man bei 3.9% Zinsen jedes Jahr abheben kann, so dass immer 237000 auf dem Konto bleiben:
Da musst Du einfach nur $3.9/100*237000$ ausrechnen!
Sorry, falls das nun verwirren sollte. Wie gesagt: Ich habe einfach den Aufgabentext nicht korrekt gelesen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Fr 09.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
Marcel hat ( unwissentlich ? ) die Rentenformel für den nachschüssigen Rentenbarwert benutzt. Die Formeln lassen sich logisch so herleiten, wie Marcel das angegangen ist.
Der letzte Schritt von Marcel lautet:
> [mm] f(x)=1.039^x\cdot{}K_0-12000\cdot{}\frac{1-1.039^{x}}{1-1.039}\,. [/mm]
Anstelle der x schreiben wir mal n - das ist intuitiver und auch üblich. Es muss ja - wie bereits erwähnt - gelten:
[mm]1.039^n\cdot{}K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1-1.039}[/mm]
Also
[mm]K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)}[/mm] mit [mm]K_0=237000[/mm]
Erkennst du die Rentenformel bereits?
[mm]\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)}=\bruch{(1-q^n)}{q^n(1-q)}[/mm]
[mm]K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)}[/mm] mit [mm]K_0=237000[/mm] musst du, wie du richtig erkannt hast, nach n lösen. Das geht allerdings nicht per Hand. Excel ist dafür eine feine Sache.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Marcel hat ( unwissentlich ? )
ja, ich bin finanzmathematisch quasi total unwissend (das ist ernst, keine Ironie!)!
> die Rentenformel für den
> nachschüssigen Rentenbarwert benutzt. Die Formeln lassen
> sich logisch so herleiten, wie Marcel das angegangen ist.
>
> Der letzte Schritt von Marcel lautet:
>
> >
> [mm]f(x)=1.039^x\cdot{}K_0-12000\cdot{}\frac{1-1.039^{x}}{1-1.039}\,.[/mm]
>
> Anstelle der x schreiben wir mal n - das ist intuitiver und
> auch üblich. Es muss ja - wie bereits erwähnt - gelten:
>
> [mm]1.039^n\cdot{}K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1-1.039}[/mm]
>
> Also
>
> [mm]K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)}[/mm] mit
> [mm]K_0=237000[/mm]
>
> Erkennst du die Rentenformel bereits?
>
> [mm]\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)}=\bruch{(1-q^n)}{q^n(1-q)}[/mm]
>
> [mm]K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)}[/mm] mit
> [mm]K_0=237000[/mm] musst du, wie du richtig erkannt hast, nach n
> lösen. Das geht allerdings nicht per Hand. Excel ist
> dafür eine feine Sache.
Nanana... natürlich kann man das per Hand machen:
$$$ [mm] K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)} [/mm] $ $$
[mm] $$\gdw 1.039^n*(-0.039)*K_0=12000-12000*1.039^n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 1.039^n(12000-0.039*K_0)=12000$$
[/mm]
[mm] $$\gdw n=\ln(\;12000/(12000-0.039*K_0)\;)/\ln(1.039)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Nanana... natürlich kann man das per Hand machen:
> > [mm]K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)}[/mm][/mm]
> >
> > [mm]\gdw 1.039^n*(-0.039)*K_0=12000-12000*1.039^n[/mm]
> > [mm]\gdw 1.039^n(12000-0.039*K_0)=12000[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw n=\ln(\;12000/(12000-0.039*K_0)\;)/\ln(1.039)\,.[/mm]
>
> ![[koffein]](/images/smileys/koffein.gif "[koffein]") Ach geh fott - wahrhaftig. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
ich wußte das, weil ich das eben in der anderen Antwort (ganz am Ende!) ergänzt hatte.
P.S.
Die Schreibweise [mm] $f(x)\,$ [/mm] anstatt [mm] $K_n$ [/mm] hatte ich dort auch extra nur eingeführt, damit man, wenn man die Gleichung halt aus irgendeinem Grunde (z.B. wenn Excel spinnt ) nicht aufgelöst bekommt, sich wenigstens mal "die Funktion" plotten kann und deren Nullstellen "angucken" kann. Dafür eignet sich, wie auch aus der Schule bekannt, die Schreibweise [mm] $f(x)\,$ [/mm] meist besser als [mm] $K_n=K(n)\,$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Fr 09.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > > Nanana... natürlich kann man das per Hand machen:
> > >
> [mm]K_0=12000\cdot{}\frac{1-1.039^{n}}{1.039^n(1-1.039)}[/mm][/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw 1.039^n*(-0.039)*K_0=12000-12000*1.039^n[/mm]
> > >
> [mm]\gdw 1.039^n(12000-0.039*K_0)=12000[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]\gdw n=\ln(\;12000/(12000-0.039*K_0)\;)/\ln(1.039)\,.[/mm]
>
> >
> > Ach geh fott - wahrhaftig.
>
> ich wußte das, weil ich das eben in der anderen Antwort
> (ganz am Ende!) ergänzt hatte.
>
> P.S.
> Die Schreibweise [mm]f(x)\,[/mm] anstatt [mm]K_n[/mm] hatte ich dort auch
> extra nur eingeführt, damit man, wenn man die Gleichung
> halt aus irgendeinem Grunde (z.B. wenn Excel spinnt )
> nicht aufgelöst bekommt, sich wenigstens mal "die
> Funktion" plotten kann und deren Nullstellen "angucken"
> kann. Dafür eignet sich, wie auch aus der Schule bekannt,
> die Schreibweise [mm]f(x)\,[/mm] meist besser als [mm]K_n=K(n)\,[/mm]
ich wollte auch nichts verbessern, wo es nichts zu verbessern gibt Ich wollte bionda nur aufzeigen, dass du eben auch die Formel für den nachschüssigen Rentenbarwert verwendest. Dachte, wenn ich auf die typischen Bezeichner aufmerksam mache, wird ihr das vielleicht deutlich.
> Gruß,
> Marcel
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:25 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> >
> > ich wußte das, weil ich das eben in der anderen Antwort
> > (ganz am Ende!) ergänzt hatte.
> >
> > P.S.
> > Die Schreibweise [mm]f(x)\,[/mm] anstatt [mm]K_n[/mm] hatte ich dort auch
> > extra nur eingeführt, damit man, wenn man die Gleichung
> > halt aus irgendeinem Grunde (z.B. wenn Excel spinnt )
> > nicht aufgelöst bekommt, sich wenigstens mal "die
> > Funktion" plotten kann und deren Nullstellen "angucken"
> > kann. Dafür eignet sich, wie auch aus der Schule bekannt,
> > die Schreibweise [mm]f(x)\,[/mm] meist besser als [mm]K_n=K(n)\,[/mm]
>
> ich wollte auch nichts verbessern, wo es nichts zu
> verbessern gibt
Ich wollte nur erklären, warum ich da als Bezeichnung [mm] $f(x)\,$ [/mm] eingeführt hatte
> Ich wollte bionda nur aufzeigen,
> dass du eben auch die Formel für den nachschüssigen
> Rentenbarwert verwendest. Dachte, wenn ich auf die
> typischen Bezeichner aufmerksam mache, wird ihr das
> vielleicht deutlich.
Das war auf jeden Fall gut - denn sie hat ja wirklich auch nach der Formel MIT NAMEN gesucht! 
So, jetztz gleich erstmal
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Fr 09.03.2012 | | Autor: | bionda |
Lieben Dank für eure Hilfe.... leider bekomme ich es immer noch nicht hin.
Die nachschüssige Rentbarwertformel hatte ich auch verwendet. Laut meiner Formelsammlung ist die aber ein bisschen anders:
R(0) = r * [mm] (q^n [/mm] - 1) / ( q -1) * [mm] 1/q^n
[/mm]
Bei dir ist es 1- q und 1- [mm] q^n [/mm] bei dem ersten Bruch.... wie kommt das?
Ich komme dann über das Einsetzen von R(0), r und q auf
237000 = 12.000 * [mm] (1,039^n [/mm] -1)/0,039 * [mm] 1/1,039^n [/mm] | * [mm] 1,039^n
[/mm]
[mm] 1,039^n [/mm] * 237000 = 12000 * [mm] (1,039^n [/mm] -1)/0,039 | *0,039
[mm] 1,039^n [/mm] * 9234 = 12000 * [mm] (1,039^n [/mm] -1)
Und nun???
Freue mich nochmals über eure Hilfe....
Lieben Dank!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Fr 09.03.2012 | | Autor: | chrisno |
> Laut meiner Formelsammlung ist die aber ein bisschen anders:
>
> R(0) = r * [mm](q^n[/mm] - 1) / ( q -1) * [mm]1/q^n[/mm]
>
> Bei dir ist es 1- q und 1- [mm]q^n[/mm] bei dem ersten Bruch.... wie
> kommt das?
Das ist das Gleiche. Erweitere den Bruch mit -1.
>
> Ich komme dann über das Einsetzen von R(0), r und q auf
....
> [mm]1,039^n[/mm] * 9234 = 12000 * [mm](1,039^n[/mm] -1)
>
> Und nun???
[mm]1,039^n * 9234 = 12000 * 1,039^n -12000*1 [/mm]
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