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| Aufgabe | | Berechne das Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}\bruch{1}{x^4+x^2+1}dx [/mm] mit Hilfe des Residuensatzes |
Hallo,
ich habe das Problem, dass sich bei der Summierung der Residuen 0 ergibt.
Ich glaube mich dunkel erinnern zu können, dass man nicht immer alle Residuen aufsummieren muss, sondern auch nur gewisse Res verwendet.
Gibt es irgend ein konkretes Indiz, wann ich alle Res aufsummiern muss und wann nicht? Und wenn ich nicht alle Res aufsummeiren muss, welche nehme ich dann?
Die einzelnen Residuen:
1 [mm] -\bruch{1}{4}-\bruch{\wurzel{3}}{12}*i
[/mm]
2 [mm] -\bruch{1}{4}+\bruch{\wurzel{3}}{12}*i
[/mm]
3 [mm] +\bruch{1}{4}-\bruch{\wurzel{3}}{12}*i
[/mm]
4 [mm] +\bruch{1}{4}+\bruch{\wurzel{3}}{12}*i
[/mm]
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Hallo DoubleHelix,
> Berechne das Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}\bruch{1}{x^4+x^2+1}dx[/mm] mit Hilfe des
> Residuensatzes
>
>
>
> Hallo,
> ich habe das Problem, dass sich bei der Summierung der
> Residuen 0 ergibt.
> Ich glaube mich dunkel erinnern zu können, dass man nicht
> immer alle Residuen aufsummieren muss, sondern auch nur
> gewisse Res verwendet.
> Gibt es irgend ein konkretes Indiz, wann ich alle Res
> aufsummiern muss und wann nicht? Und wenn ich nicht alle
> Res aufsummeiren muss, welche nehme ich dann?
Bei trigonometrischen Integralen sind
die Polstellen in der ganzen Ebene relevant.
Bei diesem Integral hier sind nur
die Polstellen in der oberen Halbebene relevant.
Diese Polstellen dürfen aber nicht auf der x-Achse liegen.
>
> Die einzelnen Residuen:
> 1 [mm]-\bruch{1}{4}-\bruch{\wurzel{3}}{12}*i[/mm]
> 2 [mm]-\bruch{1}{4}+\bruch{\wurzel{3}}{12}*i[/mm]
> 3 [mm]+\bruch{1}{4}-\bruch{\wurzel{3}}{12}*i[/mm]
> 4 [mm]+\bruch{1}{4}+\bruch{\wurzel{3}}{12}*i[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Ok Vielen Dank.
Wenn ich die Polstellen anschaue, dann müssten doch nur jene Pole in der oberen Halbebene liegen, bei denen zumindest der imaginärteil positiv ist.
Die aus diesen Polstellen hervorgehenden Residuen heben sich aber leider auf.
Habe ich da was falsch verstanden?
mfg Double
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo DoubleHelix,
gemäß Residuensatz bzw. seiner ![[]](/images/popup.gif) Anwendung musst du folgendes berechnen:
[mm]\int_0^\infty f(x)\mbox dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mbox dx=\frac{1}{2}2\pi i\sum_{a\in\mathbb H}\operatorname{Res}_a(f)[/mm]
wobei [mm]\mathbb H[/mm] die obere Halbebene ([mm]\operatorname{Im}(z)>0[/mm]) ist. Der erste Schritt beruht auf Symmetrieüberlegungen und ist nötig um den Satz anwenden zu können.
Jetzt schau, welche Nullstellen von [mm]x^4+x^2+1[/mm] in der oberen Halbebene liegen. Die Residuen dieser Polstellen musst du addieren. (Die heben sich auch nicht gegenseitig auf)
Lieben Gruß,
Fulla
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