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| Aufgabe | | Berechne: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{1}{(t^{2}+1)^{n}}dt} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe so gelöst,und habe am Ende, woe es darum geht die (n-1)te Ableitung zu berechnen irgendwo einen Wurm drin:
Also [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ \bruch{1}{(t^{2}+1)^{n}}dt} [/mm] hat die n-fachen Polstellen [mm] t_{1}=i [/mm] und [mm] t_{2}=-i
[/mm]
Es gilt wie immer die Formel:
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty} \integral_{-r}^{r}{f(t) dt} [/mm] = [mm] 2i\pi \summe_{}^{} Res_{Polstelle}f
[/mm]
Also habe ich den Integranden in Faktoren zerlegt : [mm] \bruch{1}{(t^{2}+1)^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(t+i)^{n}(t-i)^{n}}
[/mm]
Um das Res von [mm] t_{1}=i [/mm] auszurechnen, habe ich diesen Integranden durch [mm] (t-i)^{n} [/mm] dividiert, und erhalte : g = [mm] \bruch{1}{(t+i)^{n}}
[/mm]
Jetzt muss ich doch diesen Term (n-1)mal ableiten und dann noch durch (n-1)! dividieren, da scheitere ich:
Ich habe [mm] g^{(n-1)}(i) [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{(2i)^{n}})^{(n-1)} [/mm] = [mm] ((2i)^{-n})^{(n-1)}
[/mm]
Jetzt habe ich das erstmal Schritt für Schritt nacheinander abgeleitet:
1. Abl.: [mm] ((2i)^{-n})'= -n(2i)^{-n-1}
[/mm]
2. Abl.: [mm] -n(-n-1)(2i)^{-n-2}
[/mm]
3. Abl.: [mm] -n(-n-1)(-n-2)(2i)^{-n-3}
[/mm]
4. Abl.: [mm] -n(-n-1)(-n-2)(-n-3)(2i)^{-n-4}
[/mm]
...
usw. bis
(n-1)te Abl: [mm] -n(-n-1)(-n-2)(-n-3)....(-n-n-2)(2i)^{-n-(n-1)}
[/mm]
Jetzt muss ich diese (n-1)te Abl. durch (n-1)! dividieren, aber scheinbar kürzt sich bei mir gar nichts weg, sondern es bleibt dieser riesige Term, da die Vorzeichen genau anders sind wie (n-1)! = (n-1)(n-2)(n-3)...(n-n-2)
Wenn ich das dann habe, muss ich die Polstelle i einsetzen, und habe das [mm] Res_{i}f. [/mm] Analog mach ich das für die andere Polstelle -i, multipliziere dann mit [mm] 2i\pi [/mm] und hab dann das Ergebnis.
Kann mir bitte jemand an der Stelle, wo ich grad Schwierigkeiten habe, helfen?
Vielen Dank,
milka
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ZU deinem Dilemma kann ich dir leider nichts sagen.
Aber: Warum willst du das Residuum der zweiten Polstelle berechnen?
Der Integrationspfad ist doch die reelle Achse plus dem Kreisbogen, der wahlweise oberhalb ODER unterhalb der reellen Achse liegt.
Und man berücksichtig nun nur die Residuen, die innerhalb des vom Pfad eingeschlossenen Gebiet liegen, also entweder im positiven imaginären ODER im negativen imaginären Bereich.
Du brauchst also nur EIN Residuum, kannst aber gerne gucken, ob bei beiden das gleiche rauskommt...
EDIT: Mir ist da grade eine Idee gekommen, wie man dein Dlemma doch lösen kann.
SAgen wir n=6
Dann ist deine Ableitung (hast du bei -n-n-2 nicht ne Klammer vergessen?) [mm] $-6*-7*-8*-9*-10=-\bruch{10!}{5!}=(-1)^{n-1}\bruch{(n+(n-2))!}{(n-1)!}$
[/mm]
Wenn du das noch durch (n-1)! teilen mußt, ist das einfach [mm] $(-1)^{n-1}\bruch{(n+(n-2))!}{((n-1)!)^2}$
[/mm]
Es kürzt sich nichts weg, aber das ist doch eine kompakte Formel, die auch recht einfach zu berechnen ist.
Rechne das lieber nochmal genau nach, nicht, daß ich mich irre.
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