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| Aufgabe | [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{cos z}{z(z^2+8)} dz}
[/mm]
[mm] \gamma(t)=2e^{it}, t\in [0,2\pi]
[/mm]
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Hier erhalte ich folgendes.
[mm] f(z)=\bruch{cos z}{z(z^2+8)}=:\bruch{g(z)}{h(z)}.
[/mm]
f besitzt die Singularitäten [mm] z_1=0, z_2=i\wurzel{8}, z_3=-i\wurzel{8}.
[/mm]
Der Weg [mm] \gamma [/mm] umläuft lediglich [mm] z_1, [/mm] und das nur einmal. Also beträgt die Umlaufzahl von [mm] \gamma [/mm] um [mm] z_1: n(\gamma,z_1)=1.
[/mm]
[mm] Res(f,z_1)=\bruch{g(z_1)}{h'(z_1)}=\bruch{1}{8}
[/mm]
Aus der Residuenformel folgt dann...
[mm] \integral_{\gamma}{f(z) dz}=n(\gamma,z_1)*Res(f,z_1)=\bruch{1}{8}
[/mm]
Ist das so richtig?
Grüße und danke schon mal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 So 24.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{cos z}{z(z^2+8)} dz}[/mm]
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> [mm]\gamma(t)=2e^{it}, t\in [0,2\pi][/mm]
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> Hier erhalte ich folgendes.
> [mm]f(z)=\bruch{cos z}{z(z^2+8)}=:\bruch{g(z)}{h(z)}.[/mm]
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> f besitzt die Singularitäten [mm]z_1=0, z_2=i\wurzel{8}, z_3=-i\wurzel{8}.[/mm]
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> Der Weg [mm]\gamma[/mm] umläuft lediglich [mm]z_1,[/mm] und das nur einmal.
> Also beträgt die Umlaufzahl von [mm]\gamma[/mm] um [mm]z_1: n(\gamma,z_1)=1.[/mm]
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> [mm]Res(f,z_1)=\bruch{g(z_1)}{h'(z_1)}=\bruch{1}{8}[/mm]
Soweit ist alles OK.
> Aus der Residuenformel folgt dann...
> [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}=n(\gamma,z_1)*Res(f,z_1)=\bruch{1}{8}[/mm]
Hier fehlt jetzt allerdings der Faktor $2 [mm] \pi [/mm] i$ (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier): es ist [mm] $\int_\gamma [/mm] f(z) dz = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \sum n(\gamma, [/mm] z) Res(f, z) = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{8} [/mm] = [mm] \frac{\pi i}{4}$.
[/mm]
LG Felix
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