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Residuensatz: Reelles Integral berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Fr 10.02.2006
Autor: kunzm

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Berechnen sie das Folgende Integral mit Hilfe der Funktionentheorie:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}$

Hallo mal wieder,

Ich habe mir folgendes überlegt:

Sei $f(z)=\frac{1}{1+z^4}$.

Dann sind die Nullstellen des Nenners bei:

$z^4=-1$ $\Rightarrow$ $z^4=\exp(i\pi(1+2k))$ $\Rightarrow$ $z=\exp(\frac{i\pi(1+2k)}{4})$

Also bei:

$z_1=\exp(\frac{\pi i}{4})$, $z_2=\exp(\frac{3\pi i}{4})$, $z_3=\exp(\frac{5\pi i}{4})$, $z_4=\exp(\frac{7\pi i}{4})$


Dies sind alles einfache Pole.

\textit{Satz aus unserem Skript:}

\textit{Ist c einfacher Pol, so gilt:}

$res_c f(z)=\lim\limits_{z->c}(z-c)f(z)$

also:

$res_c f(z)=\lim\limits_{z->c}(z-c)f(z)=\lim\limits_{z->c}\frac{z-c}{1+z^4} ={l'Hopital}=\lim\limits_{z->c}\frac{1}{4z^3}=\frac{1}{4c^3}$

(hier bin ich nicht ganz sicher..)

Die Summe der 4 Residuen (nullstellen für c eingesetzt) multipliziert mit $2\pi i$ sollte mir doch dann das Integral geben, also

$\int\frac{1}{1+z^4}=2 \pi i \sum Res(f(z),z_k)$

$\sum Res(f(z),z_k)=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{\frac{\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{5\pi i}{4}})^3} + \frac{1}{(\exp{\frac{7\pi i}{4}})^3}\right)$

$=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})}+ \frac{1}{(\exp{\frac{9\pi i}{4}})}+ \frac{1}{(\exp{\frac{15\pi i}{4}})} + \frac{1}{(\exp{\frac{21\pi i}{4}})}\right)$

$=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{3\pi i)})}+ \frac{1}{(\exp{9\pi i)}})}+ \frac{1}{(\exp{15\pi i)})} + \frac{1}{(\exp{21\pi i)})}\right)=-1$

Also ist:

$\int\frac{1}{1+z^4}=2 \pi i \sum Res(f(z),z_k)=-2\pi i$

Und da sollte eigentlich stehen: $\frac{1}{\sqrt{2}} \pi$....

Was hab ich da mal wieder falsch gemacht?

Danke für Eure Hilfe, Martin

        
Bezug
Residuensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Fr 10.02.2006
Autor: schurikxxx

Hallo Martin



>  
> Sei [mm]f(z)=\frac{1}{1+z^4}[/mm].
>  
> Dann sind die Nullstellen des Nenners bei:
>  
> [mm]z^4=-1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]z^4=\exp(i\pi(1+2k))[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]z=\exp(\frac{i\pi(1+2k)}{4})[/mm]
>  
> Also bei:
>  
> [mm]z_1=\exp(\frac{\pi i}{4})[/mm], [mm]z_2=\exp(\frac{3\pi i}{4})[/mm],
> [mm]z_3=\exp(\frac{5\pi i}{4})[/mm], [mm]z_4=\exp(\frac{7\pi i}{4})[/mm]
>  
>
> Dies sind alles einfache Pole.
>  
> [mm]\textit{Satz aus unserem Skript:}[/mm]
>  
> [mm]\textit{Ist c einfacher Pol, so gilt:}[/mm]
>  
> [mm]res_c f(z)=\lim\limits_{z->c}(z-c)f(z)[/mm]
>  
> also:
>  
> [mm]res_c f(z)=\lim\limits_{z->c}(z-c)f(z)=\lim\limits_{z->c}\frac{z-c}{1+z^4} ={l'Hopital}=\lim\limits_{z->c}\frac{1}{4z^3}=\frac{1}{4c^3}[/mm]
>  
> (hier bin ich nicht ganz sicher..)

bis dahin ist alles richtig.


> Die Summe der 4 Residuen (nullstellen für c eingesetzt)
> multipliziert mit [mm]2\pi i[/mm] sollte mir doch dann das Integral
> geben, also
>  
> [mm]\int\frac{1}{1+z^4}=2 \pi i \sum Res(f(z),z_k)[/mm]
>  
> [mm]\sum Res(f(z),z_k)=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{\frac{\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{5\pi i}{4}})^3} + \frac{1}{(\exp{\frac{7\pi i}{4}})^3}\right)[/mm]

Hier liegt glaube ich dein Fehler. Duhast 4 komplexe nullstellen, 2 oberhalb der Reellen Achse und 2 unterhalb.
Um die Residuen zu berechnen brauchst du nur die Residuen oberhalb zu betrachten.
Für die anderen Residuen verschwindet das integral gegen 0.

Grüsse
Schurikxxx

Bezug
                
Bezug
Residuensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Sa 11.02.2006
Autor: kunzm

Danke, aber wenn ich die beiden nullstellen mit  $Im(.)<0$  weglasse, also schreibe:

$ [mm] \sum Res(f(z),z_k)=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{\frac{\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})^3}\right) =-\frac{1}{2}$ [/mm]

bekomme ich für das Integral immer noch [mm] $-\pi [/mm] i$ zurück und nicht wie gewünscht [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}} \pi$. [/mm] Irgendwo muss noch ein Fehler sein (vielleicht stimmt auch die Musterlösung nicht, wäre nicht das erste mal) Brauche aber irgendwie eine stichhaltige Begründung...

Danke, Martin.

Bezug
                        
Bezug
Residuensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Sa 11.02.2006
Autor: schurikxxx

Hallo Martin,

ich glaube du hast dich verrechnet. Ich bekomme raus:
[mm]2 \pi\sum Res(f(z),z_k)=2 \pi\frac{1}{4}\left( \frac{1}{(\exp{\frac{\pi i}{4}})^3}+ \frac{1}{(\exp{\frac{3\pi i}{4}})^3}\right) =2 \pi\left( (\frac{1}{2} \wurzel{2}+i\frac{1}{2} \wurzel{2})+(\frac{1}{2} \wurzel{2}-i\frac{1}{2} \wurzel{2})\right)=\frac{1}{2} \wurzel{2}\pi[/mm]

Grüsse
Schurikxxx

Bezug
                                
Bezug
Residuensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Sa 11.02.2006
Autor: kunzm

upps, danke!

L.G.M.

Bezug
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