Residuensatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Di 18.11.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(x^2)/(1+(x^4)) dx} [/mm] = [mm] (\pi)/\wurzel{2} [/mm] |
Hallo erstmal,
also ich komm bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter, auch unser Prof meinte, dass sie nict so leicht sei, aber ich finde nichtmal den Ansatz. Als Tip hat er uns noch gesagt, dass wir den Residuensatz und den Weg [mm] \partial [/mm] BR (0)+ betrachten sollen.
Könnte mir jemand weiterhelfen, erstmal nur nen Ansatz, weis echt nicht wie ich anfangen soll...
danke schonmal!
Glg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{(x^2)/(1+(x^4)) dx}[/mm]
> = [mm](\pi)/\wurzel{2}[/mm]
> Hallo erstmal,
> also ich komm bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter,
> auch unser Prof meinte, dass sie nict so leicht sei, aber
> ich finde nichtmal den Ansatz. Als Tip hat er uns noch
> gesagt, dass wir den Residuensatz und den Weg [mm]\partial[/mm] BR
> (0)+ betrachten sollen.
Warum machst Du es nicht ? überlege Dir, wo [mm] \bruch{z^2}{1+z^4} [/mm] Pole hat und berechne die zugehörigen Residuen. Beim berechnen des oben genannten Integrals kannst Du prima den Residuensatz verwenden.
FRED
> Könnte mir jemand weiterhelfen, erstmal nur nen Ansatz,
> weis echt nicht wie ich anfangen soll...
> danke schonmal!
>
> Glg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 18.11.2008 | | Autor: | Susan86 |
Okay alles klar also die Pole hab ich berechnet, die müssten doch bei [mm] (i+1)/\wurzel{2} [/mm] und [mm] (i-1)/\wurzel{2} [/mm] liegen, wenn ich mich nicht verechnet habe.
Sojetzt soll ich die Residuen ausrechne, mein Problem ist, dass ich nicht weis wie das geht, haben zwar eine Formel im Skript, die lautet res (f,zo) [mm] =1/2\pi [/mm] i [mm] *\integral_{\partial Bg (zo)}^{}{f(\nu) d\nu} [/mm] aber irgendwie weis ich nicht wie ich die den anwenden soll.
Ich weis auch schon was rauskommen muss: Res (f,zo)=lim x-->zo (x-zo)f(x) = i/ [mm] (2\wurzel{2}(i-1)) [/mm] und Res (f,z1)=lim x-->z1 (x-z1)f(x) = -i/ [mm] (2\wurzel{2}(i+1))
[/mm]
Als Tip haben wir auch noch gegeben, dass Res(g/f,0) = g(0)/f'(0), was bringt mir d denn hier?
Und noch eine (peinliche) Frage... Was sagt mir der Resduensatz überhaupt??? Irgendwie das das Wegintegral gleich der Summe von Residuum und Windungszahl? Also das man vielleicht bei einem geschlossenen Weg in einem Gebiet nur die "Umläufe" um die Komplemente betrachten muss also die Windungszahlen und den restlichen Weg nicht????
Wie kann ich das da anwenden???
Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 18.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay alles klar also die Pole hab ich berechnet, die
> müssten doch bei [mm](i+1)/\wurzel{2}[/mm] und [mm](i-1)/\wurzel{2}[/mm]
> liegen, wenn ich mich nicht verechnet habe.
Richtig, das sind die beiden (einfachen) Pole mit positivem Imaginärteil (es gibt noch zwei weitere Pole mit negativem Imaginärteil: [mm](+i\pm1)/\wurzel{2}[/mm] ).
> Sojetzt soll ich die Residuen ausrechne, mein Problem ist,
> dass ich nicht weis wie das geht, haben zwar eine Formel im
> Skript, die lautet res (f,zo) [mm]=1/2\pi i *\integral_{\partial Bg (zo)}^{}{f(\nu) d\nu}[/mm] aber
> irgendwie weis ich nicht wie ich die den anwenden soll.
Die bringt dir hier nichts, weil du die Residuen für einfache Polstellen besser direkt ausrechnest, mit deiner Formel:
> Ich weis auch schon was rauskommen muss: [mm]\Res (f,z_0)=\lim_{x\to z_0} (x-z_0)f(x) = i/ (2\wurzel{2}(i-1))[/mm]
> und [mm]\Res (f,z_1)=\lim_ {x\to z_1} (x-z_1)f(x) = -i/ (2\wurzel{2}(i+1))[/mm]
Auch richtig.
> Als Tip haben wir auch noch gegeben, dass Res(g/f,0) =
> g(0)/f'(0), was bringt mir d denn hier?
Damit kannst du die Residuen einfacher ausrechnen, wenn du [mm] $f=x^2$ [/mm] und [mm] $g=1+x^4$ [/mm] nimmst.
> Und noch eine (peinliche) Frage... Was sagt mir der
> Resduensatz überhaupt??? Irgendwie das das Wegintegral
> gleich der Summe von Residuum und Windungszahl? Also das
> man vielleicht bei einem geschlossenen Weg in einem Gebiet
> nur die "Umläufe" um die Komplemente betrachten muss also
> die Windungszahlen und den restlichen Weg nicht????
> Wie kann ich das da anwenden???
Die allgemeine Form mit Umläufen und Windungszahl ist etwas unübersichtlich. Nimm den einfachsten Fall: du hast eine geschlossene Kurve [mm] $\gamma$ [/mm] (1 Umlauf), die den Rand eines Gebiets G darstellt. Dann sagt der Residuensatz, dass für eine Funktion f, die in dem Gebiet G nur isolierte Singularitäten hat, aber sonst holomorph ist, diese Gleichheit gilt:
[mm] \integral_\gamma f(z) dz = 2\pi i \summe_{z_S} \Res(f,z_S) [/mm]
wobei die Summe über die isolierten Singularitäten [mm] $z_S$ [/mm] der Funktion f geht.
In der Aufgabe betrachtest du als Gebiet G die obere Halbkreisfläche [mm] $B_R(0)^{+}$ [/mm] mit Radius R um den Nullpunkt. Wenn $R>1$ ist, liegen die beiden Singularitäten in dem Halbkreis drin. Also ist das Integral über die Funktion $f(z) = [mm] \bruch{z^2}{1+z^4}$:
[/mm]
[mm] \integral_{\partial B_R(0)^{+}} f(z) dz = 2\pi i ( \Res(f,z_0) + \Res(f,z_1))[/mm]
Das kannst du also jetzt durch Einsetzen deiner Residuen ausrechnen.
Der Rand des Halbkreises besteht aus zwei Teilen: einem geraden Weg auf der reellen Achse von $-R$ bis $+R$ und einem Halbkreis. Deswegen ist das Kurvenintegral
[mm]\integral_\gamma f(z) dz = \integral_{-R}^{+R} f(x) dx + \integral_{\text{Halbkreis}} f(z) dz [/mm]
Der Trick besteht darin, den Grenzübergang [mm] $R\to\infty$ [/mm] zu machen. Das erste Integral geht dabei in das gesuchte Integral über:
[mm] \lim_{R\to\infty}\integral_{-R}^{+R} f(x) dx = \integral_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx [/mm]
Wenn du jetzt noch zeigen kannst, dass das zweite Integral 0 wird, also
[mm] \lim_{R\to\infty}\integral_{\text{Halbkreis}} f(z) dz = 0[/mm],
dann kannst du die Gleichungen zusammensetzen zu:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 2\pi i ( \Res(f,z_0) + \Res(f,z_1))[/mm]
Damit hast du eine neue Methode, solche Integrale auszurechnen.
Um den Grenzwert für das zweite Integral auszurechnen, musst du den Halbkreis geeignet parametrisieren: [mm] $\gamma(t)=R e^{it}$, $0\le t\le \pi$. [/mm] Das Integral ist also:
[mm] \integral_{\text{Halbkreis}} f(z) dz = \integral_{0}^{\pi} f(\gamma(t))\gamma'(t) dt = \integral_{0}^{\pi} f(R e^{it}) iR e^{it} dt [/mm]
Wenn der Integrand für [mm] $R\to\infty$ [/mm] schnell genug gegen 0 geht, geht auch das Integral gegen 0. Das ist hier der Fall. Du kannst ja mal die Funktion einsetzen und abschätzen.
Viele Grüße
Rainer
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