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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:
[mm] \integral_{0}^{2\Pi}{\bruch{cos(3*x)}{5-4*cos(x)}} [/mm] |
Hallo,
Ich soll das oben genannte Integral lösen.
Mein Rechenweg sieht folgendermaßen aus:
![[]](/images/popup.gif) [Externes Bild http://www.abload.de/thumb/img_20111127_211300dbugb.jpg]
ich finde den Fehler leider nicht.
Ich weiss, dass [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] herauskommen sollt...
wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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Hallo DoubleHelix,
> Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des
> Residuensatzes:
> [mm]\integral_{0}^{2\Pi}{\bruch{cos(3*x)}{5-4*cos(x)}}[/mm]
>
> Hallo,
> Ich soll das oben genannte Integral lösen.
> Mein Rechenweg sieht folgendermaßen aus:
>
> [Externes Bild http://www.abload.de/thumb/img_20111127_211300dbugb.jpg]
>
> ich finde den Fehler leider nicht.
> Ich weiss, dass [mm]\bruch{\pi}{12}[/mm] herauskommen sollt...
>
Zu berücksichtigen ist, daß z=0 3fache Nullstelle ist.
Weiterhin sind nur die Nullstellen innerhalb
des Integrationsweges wichtig.
> wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Jedoch steh ich noch immer auf dem Schlauch.
Wenn man den Integrationsweg am Einheitskreis betrachtet kommt nur 1/2 für als NST in Frage, jedoch bringt mich diese Tatsache nicht weiter.
Bitte hilf mir noch ein bischen weiter.
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Hallo DoubleHelix,
> Hallo MathePower,
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Jedoch steh ich noch immer auf dem Schlauch.
> Wenn man den Integrationsweg am Einheitskreis betrachtet
> kommt nur 1/2 für als NST in Frage, jedoch bringt mich
> diese Tatsache nicht weiter.
>
Es kommt auch die 0 als NST in Frage,
da z=0 auch innerhalb des Integrationsweges liegt.
> Bitte hilf mir noch ein bischen weiter.
Gruss
MathePower
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Wenn ich für [mm] \bruch{z^6+1}{40z^3-20z^4-12z^2} [/mm] z gegen 0 gehen lasse so kommt unendlich heraus.
Also wende ich L'ospital an und leite sooft ab bis [mm] \bruch{30z^4}{240z-240z^2-24} [/mm] lass ich nun z gegen 0 laufen so bekomme ich [mm] \bruch{0}{-24} [/mm] heraus was wiederum 0 ergibt. Das Res von 0 ist somit 0 und hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Was mach ich falsch?
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Hallo DoubleHelix,
> Wenn ich für [mm]\bruch{z^6+1}{40z^3-20z^4-12z^2}[/mm] z gegen 0
> gehen lasse so kommt unendlich heraus.
> Also wende ich L'ospital an und leite sooft ab bis
> [mm]\bruch{30z^4}{240z-240z^2-24}[/mm] lass ich nun z gegen 0 laufen
> so bekomme ich [mm]\bruch{0}{-24}[/mm] heraus was wiederum 0 ergibt.
> Das Res von 0 ist somit 0 und hat keinen Einfluss auf das
> Ergebnis.
>
> Was mach ich falsch?
L'Hospital kannst Du hier nicht anwenden,
da kein unbestimmter Ausdruck vorliegt.
Gruss
MathePower
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@mathe power: Ich komme einfach nicht drauf :( möchtest du mir vl. die Lösung sagen *liebfrag* ?
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Hallo DoubleHelix,
> @mathe power: Ich komme einfach nicht drauf :( möchtest du
> mir vl. die Lösung sagen *liebfrag* ?
Das Residuum an der Stelle z=0 berechnet sich wie folgt:
[mm]2*\pi*i*\bruch{1}{2!}*\bruch{d^{2}}{dz^{2}}\left( \ z^{3}*f\left(z\right) \ \right)[/mm]
, wobei f(z) der von Dir errechnete Integrand ist.
Gruss
MathePower
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Vielen Dank!
Die Formel war im Skriptum für Polstellen nter Ordnung hab das ganz übersehen...
Danke nochmal!
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![[]](http://www.abload.de/image.php?img=img_20111127_211300dbugb.jpg){kind=small}
[Externes Bild http://www.abload.de/thumb/img_20111127_211300dbugb.jpg]
