Residuensatz, reelle Anwend. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:54 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Camille |
| Aufgabe | Es sei p ein Polynom m-ten Grades (m [mm] \in \IN). [/mm] Weiter sei q ein Polynom n-ten Grades (n [mm] \in \IN) [/mm] mit den paarweise verschiedenen Nullstellen [mm] z_1, [/mm] ..., [mm] z_k, [/mm] und es gelte n [mm] \ge [/mm] m + 2.
Es sei [mm] r_0 [/mm] > 0 so gross, dass alle Nullstellen von q in der Kreisscheibe [mm] D_{r_{0}}(0) [/mm] liegen. Für r > [mm] r_{0} [/mm] sei [mm] \gamma_{r}: [/mm] [0, [mm] 2\pi] \to \IC, [/mm]
[mm] \gamma_{r}(t) [/mm] = [mm] re^{it}. [/mm] Zeigen Sie
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty} \integral_{\gamma_{r}}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dz} [/mm] = 0. |
Zur später Stunde noch dieser Brocken,
ich fühle mich von dieser Aufgabe ein wenig erschlagen und finde keinerlei Einstieg. Wo kann ich ansetzen, wie kann ich da rangehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:47 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Es sei p ein Polynom m-ten Grades (m [mm]\in \IN).[/mm] Weiter sei q
> ein Polynom n-ten Grades (n [mm]\in \IN)[/mm] mit den paarweise
> verschiedenen Nullstellen [mm]z_1,[/mm] ..., [mm]z_k,[/mm] und es gelte n [mm]\ge[/mm]
> m + 2.
Ohne Einschraenkung kannst du annehmen, dass $q$ normiert ist, also $q(z) = [mm] \prod_{i=1}^k [/mm] (z - [mm] z_k)$. [/mm] (Du betrachtest hier den Quotienten [mm] $\frac{p}{q}$, [/mm] womit du den Leitkoeffizient nach $p$ schieben kannst.)
> Es sei [mm]r_0[/mm] > 0 so gross, dass alle Nullstellen von q in
> der Kreisscheibe [mm]D_{r_{0}}(0)[/mm] liegen. Für r > [mm]r_{0}[/mm] sei
> [mm]\gamma_{r}:[/mm] [0, [mm]2\pi] \to \IC,[/mm]
> [mm]\gamma_{r}(t)[/mm] = [mm]re^{it}.[/mm] Zeigen Sie
> [mm]\limes_{r\rightarrow\infty} \integral_{\gamma_{r}}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dz}[/mm]
> = 0.
> Zur später Stunde noch dieser Brocken,
> ich fühle mich von dieser Aufgabe ein wenig erschlagen
> und finde keinerlei Einstieg. Wo kann ich ansetzen, wie
> kann ich da rangehen?
Edit: das geht zwar, aber es geht auch noch anders, vermutlich einfacher (siehe unten).
Versuch doch mal das Residuum von [mm] $\frac{p(z)}{(z - z_1) \cdots (z - z_k)}$ [/mm] in einer der Stellen [mm] $z_i$ [/mm] auszurechnen.
Und dann benutze den Residuensatz.
Zweiter Versuch:
Setze $M(r) := [mm] \max_{|z| = r} [/mm] |p(z)/q(z)|$. Zeige, dass $r M(r) [mm] \to [/mm] 0$ fuer $r [mm] \to \infty$.
[/mm]
Dann schaetze [mm] $\Bigl| \int_{\gamma_r} \frac{p}{q} [/mm] dz [mm] \Bigr| \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] r [mm] \cdot [/mm] M(r)$ ab.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Camille |
Hi Felix,
und ersteinmal danke für deine Antwort!
> Moin
>
> > Es sei p ein Polynom m-ten Grades (m [mm]\in \IN).[/mm] Weiter sei q
> > ein Polynom n-ten Grades (n [mm]\in \IN)[/mm] mit den paarweise
> > verschiedenen Nullstellen [mm]z_1,[/mm] ..., [mm]z_k,[/mm] und es gelte n [mm]\ge[/mm]
> > m + 2.
>
> Ohne Einschraenkung kannst du annehmen, dass [mm]q[/mm] normiert
> ist, also [mm]q(z) = \prod_{i=1}^k (z - z_k)[/mm]. (Du betrachtest
> hier den Quotienten [mm]\frac{p}{q}[/mm], womit du den
> Leitkoeffizient nach [mm]p[/mm] schieben kannst.)
>
> > Es sei [mm]r_0[/mm] > 0 so gross, dass alle Nullstellen von q in
> > der Kreisscheibe [mm]D_{r_{0}}(0)[/mm] liegen. Für r > [mm]r_{0}[/mm] sei
> > [mm]\gamma_{r}:[/mm] [0, [mm]2\pi] \to \IC,[/mm]
> > [mm]\gamma_{r}(t)[/mm] = [mm]re^{it}.[/mm] Zeigen Sie
> > [mm]\limes_{r\rightarrow\infty} \integral_{\gamma_{r}}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dz}[/mm]
> > = 0.
> > Zur später Stunde noch dieser Brocken,
> > ich fühle mich von dieser Aufgabe ein wenig erschlagen
> > und finde keinerlei Einstieg. Wo kann ich ansetzen, wie
> > kann ich da rangehen?
>
> Edit: das geht zwar, aber es geht auch noch anders,
> vermutlich einfacher (siehe unten).
>
> Versuch doch mal das Residuum von [mm]\frac{p(z)}{(z - z_1) \cdots (z - z_k)}[/mm]
> in einer der Stellen [mm]z_i[/mm] auszurechnen.
>
> Und dann benutze den Residuensatz.
>
> Zweiter Versuch:
>
> Setze [mm]M(r) := \max_{|z| = r} |p(z)/q(z)|[/mm]. Zeige, dass [mm]r M(r) \to 0[/mm]
> fuer [mm]r \to \infty[/mm].
>
Ich habe nun länger versucht deinen zweiten Vorschlag nachzuvollziehen. Es gelingt mir jedoch leider nicht.
Warum betrachten wir das Maximum des Betrages?
> Dann schaetze [mm]\Bigl| \int_{\gamma_r} \frac{p}{q} dz \Bigr| \le 2 \pi r \cdot M(r)[/mm]
> ab.
Auf welcher Grundlage darf man diese Abschätzung tätigen?
Sorry, ich stell' mich sicherlich ein wenig dumm an. Aber ich raff's einfach von vorne bis hinten nicht.
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Zeige: es ex. [mm] c_1,C_1,c_2,C_2 [/mm] > 0 und R>0 mit:
[mm] $c_1|z|^m \le [/mm] |p(z)| [mm] \le C_1|z|^m$ [/mm] und [mm] $c_2|z|^n \le [/mm] |q(z)| [mm] \le C_2|z|^n$ [/mm] für $|z|>R$
Folgere daraus:
Es ex. C>0 mit:
[mm] $|\bruch{p(z)}{q(z)}| \le C*\bruch{1}{|z|^2} [/mm] für $|z|>R$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Camille |
Hi fred,
danke auch dir für deine Hilfe.
> Zeige: es ex. [mm]c_1,C_1,c_2,C_2[/mm] > 0 und R>0 mit:
>
> [mm]c_1|z|^m \le |p(z)| \le C_1|z|^m[/mm] und [mm]c_2|z|^n \le |q(z)| \le C_2|z|^n[/mm]
> für [mm]|z|>R[/mm]
Oh man... ich blick' garnicht mehr durch.
Ich verstehe überhaupt nicht warum man das zeigen kann. Geschweige denn wie. Mir fehlt einfach das Verständnis für diese Aufgabe. Ich sehe auch nicht den Bezug zur Vorlesung. Kann mir jemand sagen worum es hier eigentlich geht, um welche Sätze, Definitionen? Wir könnte ich mich hier einlesen?
>
> Folgere daraus:
>
> Es ex. C>0 mit:
>
> [mm]$|\bruch{p(z)}{q(z)}| \le C*\bruch{1}{|z|^2}[/mm] für $|z|>R$
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal an, g sei ein Polynom vom Grade n, also
$g(z)= [mm] a_0+a_1z+...+a_nz^n$
[/mm]
mit [mm] a_n \ne [/mm] 0.
Für z [mm] \ne [/mm] 0 ist dann
[mm] $g(z)/z^n= \bruch{a_0}{z^n}+\bruch{a_1}{z^{n-1}}+...+\bruch{a_{n-1}}{z}+a_n$
[/mm]
Somit gilt:
[mm] $g(z)/z^n \to a_n$ [/mm] für $|z| [mm] \to \infty$
[/mm]
Somit ist gilt für |z| groß: [mm] g(z)/z^n [/mm] liegt in der Nähe von [mm] a_n. [/mm] Genauer:
Es gibt ein R>0 mit:
[mm] $\bruch{|a_n|}{2}\le |g(z)/z^n| \le \bruch{3|a_n|}{2}$ [/mm] für |z|>R
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Camille |
Ok, ich versuch' das noch mal in Ruhe durchzugehen:
Es sei p(z) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] z + ... + [mm] a_m z^m [/mm] mit [mm] a_m \not= [/mm] 0.
Für z [mm] \not= [/mm] 0 gilt: [mm] \bruch{p(z)}{z^m} [/mm] = [mm] \bruch{a_0}{z^m} [/mm] + [mm] \bruch{a_1}{z^{m-1}} [/mm] + ... + [mm] a_m
[/mm]
Für |z| [mm] \to \infty [/mm] gilt: [mm] \bruch{p(z)}{z^m} \to a_m
[/mm]
Für ein genügend grosses z ist [mm] \bruch{p(z)}{z^m} [/mm] also beliebig nahe an [mm] a_m.
[/mm]
Wir zeigen auf gleichem Wege, dass [mm] \bruch{q(z)}{z^n} [/mm] belibig nahe an [mm] b_n [/mm] sein kann.
(q(z) = [mm] b_0 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] z + ... + [mm] b_n z^n)
[/mm]
Wir folgern nun:
Es existiert ein R, sodass für |z| > R gilt:
[mm] \bruch{p(z)}{|z|^m}*\bruch{|z|^n}{q(z)} [/mm] < [mm] 2\bruch{a_m}{a_n} \gdw \bruch{p(z) |z|^{n-m}}{q(z)} [/mm] < [mm] 2\bruch{a_m}{a_n} \gdw \bruch{p(z)}{q(z)} [/mm] < [mm] 2\bruch{a_m}{a_n} \bruch{1}{|z|^{n-m}}
[/mm]
Soweit ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Ok, ich versuch' das noch mal in Ruhe durchzugehen:
>
> Es sei p(z) = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] z + ... + [mm]a_m z^m[/mm] mit [mm]a_m \not=[/mm] 0.
> Für z [mm]\not=[/mm] 0 gilt: [mm]\bruch{p(z)}{z^m}[/mm] = [mm]\bruch{a_0}{z^m}[/mm]
> + [mm]\bruch{a_1}{z^{m-1}}[/mm] + ... + [mm]a_m[/mm]
> Für |z| [mm]\to \infty[/mm] gilt: [mm]\bruch{p(z)}{z^m} \to a_m[/mm]
> Für
> ein genügend grosses z ist [mm]\bruch{p(z)}{z^m}[/mm] also beliebig
> nahe an [mm]a_m.[/mm]
Ja.
> Wir zeigen auf gleichem Wege, dass [mm]\bruch{q(z)}{z^n}[/mm]
> belibig nahe an [mm]b_n[/mm] sein kann.
Nicht "sein kann", sondern "ist"!
> (q(z) = [mm]b_0[/mm] + [mm]b_1[/mm] z + ... + [mm]b_n z^n)[/mm]
>
> Wir folgern nun:
> Es existiert ein R, sodass für |z| > R gilt:
> [mm]\bruch{p(z)}{|z|^m}*\bruch{|z|^n}{q(z)}[/mm] <
> [mm]2\bruch{a_m}{a_n} \gdw \bruch{p(z) |z|^{n-m}}{q(z)}[/mm] <
> [mm]2\bruch{a_m}{a_n} \gdw \bruch{p(z)}{q(z)}[/mm] <
> [mm]2\bruch{a_m}{a_n} \bruch{1}{|z|^{n-m}}[/mm]
>
> Soweit ok?
Ja, falls [mm] $\frac{a_m}{a_n} [/mm] > 0$ (benutz doch einfach Betraege). Nur solltest du nicht vergessen zu zeigen, dass es auch eine aehnliche untere Schranke gibt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Camille |
Ok, die Bestimmung der oberen (wie auch der unteren) Schranke ist für mich nun nachvollziehbar. Nur wird mir ehrlich gesagt der Hintergrund dieser Brechnung nicht klar. Der Zusammenhang mit der Aussage [mm] \limes_{r\rightarrow\infty} \integral_{\gamma_{r}}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dz} [/mm] = 0 ist für mich nicht ersichtlich. Stell' ich mich jetzt vollkommen dumm an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Ok, die Bestimmung der oberen (wie auch der unteren)
> Schranke ist für mich nun nachvollziehbar. Nur wird mir
> ehrlich gesagt der Hintergrund dieser Brechnung nicht klar.
> Der Zusammenhang mit der Aussage
> [mm]\limes_{r\rightarrow\infty} \integral_{\gamma_{r}}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dz}[/mm]
> = 0 ist für mich nicht ersichtlich. Stell' ich mich jetzt
> vollkommen dumm an?
Schau dir nochmal meine zweite Antwort hier an.
Mit dem, was du bisher gemacht hast, kannst du $r M(r) [mm] \to [/mm] 0$ fuer $r [mm] \to \infty$ [/mm] zeigen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Camille |
Ok, es sei also (bis auf ein paar Unsauberkeiten) gezeigt:
[mm] |\bruch{p(z)}{q(z)}| [/mm] < [mm] 2\bruch{a_m}{a_n} \bruch{1}{|z|^{n-m}}
[/mm]
Aus Gründen der Einfachheit bezeichne ich den konstanten Ausdruck [mm] 2\bruch{a_m}{a_n} [/mm] mit C:
[mm] |\bruch{p(z)}{q(z)}| [/mm] < [mm] C\bruch{1}{|z|^{n-m}} [/mm] (*)
Setze [mm] M(r):=\max_{|z| = r} |\bruch{p(z)}{q(z)}|.
[/mm]
(*) [mm] \Rightarrow [/mm] M(r) < [mm] \max_{|z| = r} C\bruch{1}{|z|^{n-m}} \gdw [/mm] r M(r) < [mm] r*\max_{|z| = r} C\bruch{1}{|z|^{n-m}} [/mm] = [mm] r*C\bruch{1}{r^{n-m}}
[/mm]
[mm] r*C\bruch{1}{r^{n-m}} \to [/mm] 0 für r [mm] \to \infty, [/mm] da [mm] n-m\ge2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] r*M(r) [mm] \to [/mm] 0 für r [mm] \to \infty
[/mm]
Nun kann man mit Hilfe der Abschätzung [mm] |\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dx}| \le 2\pi*r*M(r) [/mm] die gefordete Aussage zeigen.
Letzte Frage: Wie kann ich diese Abschätzung begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Ok, es sei also (bis auf ein paar Unsauberkeiten) gezeigt:
> [mm]|\bruch{p(z)}{q(z)}|[/mm] < [mm]2\bruch{a_m}{a_n} \bruch{1}{|z|^{n-m}}[/mm]
Warum schreibst du nicht auch noch Betragszeichen um [mm] $\frac{a_m}{a_n}$? [/mm] Dann ist es wenigstens korrekt.
> Aus Gründen der Einfachheit bezeichne ich den konstanten
> Ausdruck [mm]2\bruch{a_m}{a_n}[/mm] mit C:
Mit Betragszeichen, bitte.
> [mm]|\bruch{p(z)}{q(z)}|[/mm] < [mm]C\bruch{1}{|z|^{n-m}}[/mm] (*)
>
> Setze [mm]M(r):=\max_{|z| = r} |\bruch{p(z)}{q(z)}|.[/mm]
> (*)
> [mm]\Rightarrow[/mm] M(r) < [mm]\max_{|z| = r} C\bruch{1}{|z|^{n-m}} \gdw[/mm]
> r M(r) < [mm]r*\max_{|z| = r} C\bruch{1}{|z|^{n-m}}[/mm] =
> [mm]r*C\bruch{1}{r^{n-m}}[/mm]
1. Schreibe lieber [mm] $\le$ [/mm] als $<$.
2. Benutze kein [mm] $\gdw$, [/mm] wenn ein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] voellig ausreicht.
> [mm]r*C\bruch{1}{r^{n-m}} \to[/mm] 0 für r [mm]\to \infty,[/mm] da [mm]n-m\ge2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] r*M(r) [mm]\to[/mm] 0 für r [mm]\to \infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun kann man mit Hilfe der Abschätzung
> [mm]|\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dx}| \le 2\pi*r*M(r)[/mm]
> die gefordete Aussage zeigen.
Genau.
> Letzte Frage: Wie kann ich diese Abschätzung begründen?
Gegenfrage: wie ist [mm] $\int_{\gamma_r} [/mm] f(z) dz$ definiert?
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Camille |
Es dürfte doch gelten:
[mm] |\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dx}| [/mm] = [mm] |\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{p(re^{it})}{q(re^{it})}} rie^{it} [/mm] dt|
Hmmm... Hilft mir irgendwie nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 06.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es dürfte doch gelten:
> [mm]|\integral_{\gamma_r}^{}{\bruch{p(z)}{q(z)} dx}|[/mm] =
> [mm]|\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{p(re^{it})}{q(re^{it})}} rie^{it}[/mm]
> dt|
Kennst du nicht die Abschaetzung [mm] $|\int_a^b [/mm] f(x) dx| [mm] \le [/mm] (b - a) [mm] \cdot \max_{x \in [a, b]} [/mm] |f(x)|$?
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi fred,
>
> danke auch dir für deine Hilfe.
>
> > Zeige: es ex. [mm]c_1,C_1,c_2,C_2[/mm] > 0 und R>0 mit:
> >
> > [mm]c_1|z|^m \le |p(z)| \le C_1|z|^m[/mm] und [mm]c_2|z|^n \le |q(z)| \le C_2|z|^n[/mm]
> > für [mm]|z|>R[/mm]
>
> Oh man... ich blick' garnicht mehr durch.
> Ich verstehe überhaupt nicht warum man das zeigen kann.
> Geschweige denn wie. Mir fehlt einfach das Verständnis
> für diese Aufgabe. Ich sehe auch nicht den Bezug zur
> Vorlesung.
Die obige Aufgabe hat höchstwahrscheinlich vorbereitenden Charakter. Mit diese Aufgabe und mit dem Residuensatz kann man zeigen, dass das Integral
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{p(x)}{q(x)} dx}$
[/mm]
konvergiert, falls $q(x) [mm] \ne [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR$
[/mm]
FRED
> Kann mir jemand sagen worum es hier eigentlich
> geht, um welche Sätze, Definitionen? Wir könnte ich mich
> hier einlesen?
>
> >
> > Folgere daraus:
> >
> > Es ex. C>0 mit:
> >
> > [mm]$|\bruch{p(z)}{q(z)}| \le C*\bruch{1}{|z|^2}[/mm] für [mm]|z|>R[/mm]
> >
> > FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Camille |
Als zweite Teilaufgabe soll man zeigen, dass [mm] \summe_{j=1}^{k} res_z_j \bruch{p(z)}{q(z)} [/mm] = 0 ist. Aber ist bei endlich vielen Residuen die Summe aller Residuen nicht immer gleich 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Als zweite Teilaufgabe soll man zeigen, dass
> [mm]\summe_{j=1}^{k} res_z_j \bruch{p(z)}{q(z)}[/mm] = 0 ist. Aber
> ist bei endlich vielen Residuen die Summe aller Residuen
> nicht immer gleich 0?
Nein. Nimm $f = [mm] \frac{x}{1 - x}$, [/mm] dies hat ein Residuum [mm] $\neq [/mm] 0$ in $x = 1$, sonst keins.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 06.07.2010 | | Autor: | Camille |
Hmmm... stimmt. Ich trau' mich schon garnicht zu fragen. Aber du könntest mir nicht zufällig auch hierbei weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Di 06.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hmmm... stimmt. Ich trau' mich schon garnicht zu fragen.
> Aber du könntest mir nicht zufällig auch hierbei
> weiterhelfen?
Schau dir den ersten Teil meiner Antwort fuer den ersten Aufgabenteil an. Der enthaelt alles, was du hierfuer brauchst (vor allem das wichtige Stichwort).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Camille |
Danke felix, danke fred, ich bin jetzt alles nochmal in Ruhe an Hand eurer Tipps durchgegangen und denke es verstanden zu haben. Danke für eure Hilfe!
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