matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenKnobelaufgabenResiduum
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Knobelaufgaben" - Residuum
Residuum < Knobelaufgaben < Café VH < Internes < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Knobelaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Residuum: Schöne Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 10:18 Di 10.08.2010
Autor: fred97

Hier hab ich eine schöne Aufgabe aus dem Bereich "Funktionentheorie":
Aufgabe
Es sei $R>1$, [mm] $U:=\{z \in \IC: |z|
Man zeige:  [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] = [mm] -\mathrm{res}(f; [/mm] 1)$

Vieleicht ist eine der Moderatorinnen oder einer der Moderatoren so nett, diese Aufgabe in der üblichen Weise zu deklarieren (  .....  "kein normales Hilfegesuch" ....)

Gruß FRED

        
Bezug
Residuum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Di 10.08.2010
Autor: rainerS

Hallo Fred!

> Hier hab ich eine schöne Aufgabe aus dem Bereich
> "Funktionentheorie":
>  Es sei [mm]R>1[/mm], [mm]U:=\{z \in \IC: |z|
> sei holomorph und habe in 1 einen einfachen Pol.
>  
> Man zeige:  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} = -\mathrm{res}(f; 1)[/mm]

Sei $1<r<R$. Nach dem Residuensatz ist

[mm]\bruch{1}{2\pi i} \integral_{|z|=r}\bruch{f(z)}{z^{n+1}} dz = \mathop{\mathrm{res}}(f; 1) + \bruch{f^{(n)}(0)}{n!}[/mm] .

Andererseits kann ich, da f stetig entlang des Integrationsweges ist, das Integral abschätzen durch

[mm] \left| \integral_{|z|=r}\bruch{f(z)}{z^{n+1}} dz\right| \le 2\pi r * \bruch{1}{r^{n+1}} \max_{|z|=r} |f(z)| \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 [/mm] .

(EDIT: Betragstriche beim Maximum von $|f|$ und Faktor beim Residuensatz vergessen!)

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Residuum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 Di 10.08.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred!
>  
> > Hier hab ich eine schöne Aufgabe aus dem Bereich
> > "Funktionentheorie":
>  >  Es sei [mm]R>1[/mm], [mm]U:=\{z \in \IC: |z|
> > sei holomorph und habe in 1 einen einfachen Pol.
>  >  
> > Man zeige:  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} = -\mathrm{res}(f; 1)[/mm]
>  
> Sei [mm]1
>  
> [mm]\integral_{|z|=r}\bruch{f(z)}{z^{n+1}} dz = \mathop{\mathrm{res}}(f; 1) + \bruch{f^{(n)}(0)}{n!}[/mm]
> .
>  
> Andererseits kann ich, da f stetig entlang des
> Integrationsweges ist, das Integral abschätzen durch
>  
> [mm]\left| \integral_{|z|=r}\bruch{f(z)}{z^{n+1}} dz\right| \le 2\pi r * \bruch{1}{r^{n+1}} \max_{|z|=r} f(z) \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0[/mm]
> .
>  
> Viele Grüße
>     Rainer



Hallo Rainer,

sehr schöne Lösung !

Meine Lösung ist methodisch etwas anders

Gruß FRED

Bezug
        
Bezug
Residuum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Di 10.08.2010
Autor: pelzig

Hallo Fred,

Wir schreiben für [mm] $f(z)=\sum_{k\ge 0}a_kz^k$ [/mm] für $|z|<1$, wobei [mm] $a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$. [/mm] Dann ist

[tex]\begin{align*}-\operatorname{Res}(f,1)&=\lim_{z\to 1}(1-z)f(z)=\sum_{k\ge 0}a_kz^k-\sum_{k\ge 0}a_kz^{k+1}\\&=\lim_{z\to 1}a_0+\sum_{k\ge 1}(a_k-a_{k-1})z^k\stackrel{(\star)}{=}\lim_{n\to\infty}a_0+\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})=\lim_{n\to\infty}a_n\end{align*}[/tex]


(Teleskopsumme!) wobei wir bei [mm] $(\star)$ [/mm] benutzt haben, dass die Funktion $(1-z)f(z)$ sich holomorph auf ganz $U$ fortsetzen lässt und daher die Reihen in $z=1$ gleichmäßig konvergieren.

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Residuum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:13 Di 10.08.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> Wir schreiben für [mm]f(z)=\sum_{k\ge 0}a_kz^k[/mm] für [mm]|z|<1[/mm],
> wobei [mm]a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}[/mm]. Dann ist
>
> [tex]\begin{align*}-\operatorname{Res}(f,1)&=\lim_{z\to 1}(1-z)f(z)=\sum_{k\ge 0}a_kz^k-\sum_{k\ge 0}a_kz^{k+1}\\&=\lim_{z\to 1}a_0+\sum_{k\ge 1}(a_k-a_{k-1})z^k\stackrel{(\star)}{=}\lim_{n\to\infty}a_0+\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})=\lim_{n\to\infty}a_n\end{align*}[/tex]
>  
> (Teleskopsumme!) wobei wir bei [mm](\star)[/mm] benutzt haben, dass
> die Funktion [mm](1-z)f(z)[/mm] sich holomorph auf ganz [mm]U[/mm] fortsetzen
> lässt und daher die Reihen in [mm]z=1[/mm] gleichmäßig
> konvergieren.
>  
> Gruß, Robert

Hallo Robert,

eine sehr schöne Lösung

Gruß FRED


Bezug
                
Bezug
Residuum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Di 10.08.2010
Autor: felixf

Moin Robert,

> Wir schreiben für [mm]f(z)=\sum_{k\ge 0}a_kz^k[/mm] für [mm]|z|<1[/mm],
> wobei [mm]a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}[/mm]. Dann ist
>
> [tex]\begin{align*}-\operatorname{Res}(f,1)&=\lim_{z\to 1}(1-z)f(z)=\sum_{k\ge 0}a_kz^k-\sum_{k\ge 0}a_kz^{k+1}\\&=\lim_{z\to 1}a_0+\sum_{k\ge 1}(a_k-a_{k-1})z^k\stackrel{(\star)}{=}\lim_{n\to\infty}a_0+\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})=\lim_{n\to\infty}a_n\end{align*}[/tex]

genau das schwebte mir auch vor, als ich die Aufgabenstellung las :)

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Residuum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Di 10.08.2010
Autor: gfm


> Hier hab ich eine schöne Aufgabe aus dem Bereich
> "Funktionentheorie":
>  Es sei [mm]R>1[/mm], [mm]U:=\{z \in \IC: |z|
> sei holomorph und habe in 1 einen einfachen Pol.
>  
> Man zeige:  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} = -\mathrm{res}(f; 1)[/mm]
>  
> Vieleicht ist eine der Moderatorinnen oder einer der
> Moderatoren so nett, diese Aufgabe in der üblichen Weise
> zu deklarieren (  .....  "kein normales Hilfegesuch" ....)
>  

Als Physiker würde ich so an die Sache heran gehen:

f hat in z=1 eine Darstellung [mm] f(z)=\frac{a_{-1}}{z-1}+g(z) [/mm] mit einem holomorphen g. (1)

Differenziert man das n-mal so erhält man [mm] f^{(n)}(z)=(-1)^nn!\frac{a_{-1}}{(z-1)^{n+1}}+g^{(n)}(z) [/mm] und an der Stelle z=0 dann [mm] f^{(n)}(0)=-n!a_{-1}+g^{(n)}(0). [/mm]

Wenn [mm] a_n [/mm] der n-te Koeffizient der Entwicklung von g an der Stelle z=0 ist, erhält man daraus [mm] \frac{f^{(n)}(0)}{n!}=-a_{-1}+a_n. [/mm] (2)

Da [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge sein muss, folgt daraus die Behauptung. (3)

Fragen:

In (1) interpretiere ich g als in einer Umgebung um z=1 entwickelt. In (2) wird Bezug genommen auf eine Entwicklung von g an der Stelle z=0. Wenn der Konvergenzradius z=0 nicht einschließt, was mache ich dann? Oder ist das irrelevant?

Wieso ist [mm] a_n [/mm] unweigerlich eine Nullfolge? Liegt das daran, dass die Entwicklung von g bei z=0 den Konvergenzradius R>1 hat?

LG

gfm



Bezug
                
Bezug
Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Di 10.08.2010
Autor: fred97


> > Hier hab ich eine schöne Aufgabe aus dem Bereich
> > "Funktionentheorie":
>  >  Es sei [mm]R>1[/mm], [mm]U:=\{z \in \IC: |z|
> > sei holomorph und habe in 1 einen einfachen Pol.
>  >  
> > Man zeige:  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} = -\mathrm{res}(f; 1)[/mm]
>  
> >  

> > Vieleicht ist eine der Moderatorinnen oder einer der
> > Moderatoren so nett, diese Aufgabe in der üblichen Weise
> > zu deklarieren (  .....  "kein normales Hilfegesuch" ....)
>  >  
>
> Als Physiker würde ich so an die Sache heran gehen:
>  
> f hat in z=1 eine Darstellung [mm]f(z)=\frac{a_{-1}}{z-1}+g(z)[/mm]
> mit einem holomorphen g. (1)
>  
> Differenziert man das n-mal so erhält man
> [mm]f^{(n)}(z)=(-1)^nn!\frac{a_{-1}}{(z-1)^{n+1}}+g^{(n)}(z)[/mm]
> und an der Stelle z=0 dann [mm]f^{(n)}(0)=-n!a_{-1}+g^{(n)}(0).[/mm]
>
> Wenn [mm]a_n[/mm] der n-te Koeffizient der Entwicklung von g an der
> Stelle z=0 ist, erhält man daraus
> [mm]\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=-a_{-1}+a_n.[/mm] (2)
>  
> Da [mm]a_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

eine Nullfolge sein muss, folgt daraus die

> Behauptung. (3)
>  
> Fragen:
>  
> In (1) interpretiere ich g als in einer Umgebung um z=1
> entwickelt. In (2) wird Bezug genommen auf eine Entwicklung
> von g an der Stelle z=0. Wenn der Konvergenzradius z=0
> nicht einschließt, was mache ich dann? Oder ist das
> irrelevant?


Ich würde definieren $ g(z):=-\frac{a_{-1}}{z-1}+f(z) $  ( wobei ${a_{-1}= res(f;1)  )$

Dann ist zunächst 1 eine isol. Sing. von g. So wie g aber def. ist, ist 1 eine hebbare Sing. von g.

                g ist also auf U holomorph !    (also für |z|<R)

>  
> Wieso ist [mm]a_n[/mm] unweigerlich eine Nullfolge? Liegt das daran,
> dass die Entwicklung von g bei z=0 den Konvergenzradius R>1
> hat?


Ja, da g (so wie ich es def. habe) auf U holomorph ist, konv. die Potenzreihe von g um 0 auch im Punkt 1. Somit ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.



Deine Lösung ist in etwa das, was ich mir auch zurechtgelegt habe.

Da wir jetzt schon 3 Lösungen haben, denke ich , dass ich meine auch noch beisteuern kann:



FREDs   Lösung:

Sei $c:= res(f;1)$ und [mm] $g(z):=f(z)-\bruch{c}{z-1}$. [/mm]  Dann ist g auf U holomorph. Wir verschaffen uns die Potenzreihenentwicklungen von f und g um den Nullpunkt:

           $ f(z)=  [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] $   (|z|<1)

und

            $g(z)=  [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nz^n$ [/mm]     (|z|<R).

Es ist  [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}b_n$ [/mm]  konvergent und somit ist

            (*)  [mm] $\lim b_n=0.$ [/mm]

Zu zeigen ist: [mm] $\lim a_n=-c.$ [/mm]

Für |z|<1 haben wir:

  $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n= [/mm] f(z)= g(z) [mm] +\bruch{c}{z-1}= \summe_{n=0}^{\infty}b_nz^n-c*\summe_{n=0}^{\infty}z^n= \summe_{n=0}^{\infty}(b_n-c)z^n.$ [/mm]

Mit dem Identitätssatz für Potenzreihen folgt hieraus:

                      [mm] $a_n=b_n-c$ [/mm]    für n [mm] \ge [/mm] 0

Aus (*) folgt dann  

                    [mm] $\lim a_n=-c.$ [/mm]





FRED

    

>  
> LG
>  
> gfm
>  
>  


Bezug
                        
Bezug
Residuum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Di 10.08.2010
Autor: gfm


> > > Hier hab ich eine schöne Aufgabe aus dem Bereich
> > > "Funktionentheorie":
>  >  >  Es sei [mm]R>1[/mm], [mm]U:=\{z \in \IC: |z|
> > > sei holomorph und habe in 1 einen einfachen Pol.
>  >  >  
> > > Man zeige:  
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} = -\mathrm{res}(f; 1)[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Vieleicht ist eine der Moderatorinnen oder einer der
> > > Moderatoren so nett, diese Aufgabe in der üblichen Weise
> > > zu deklarieren (  .....  "kein normales Hilfegesuch" ....)
>  >  >  
> >
> > Als Physiker würde ich so an die Sache heran gehen:
>  >  
> > f hat in z=1 eine Darstellung [mm]f(z)=\frac{a_{-1}}{z-1}+g(z)[/mm]
> > mit einem holomorphen g. (1)
>  >  
> > Differenziert man das n-mal so erhält man
> > [mm]f^{(n)}(z)=(-1)^nn!\frac{a_{-1}}{(z-1)^{n+1}}+g^{(n)}(z)[/mm]
> > und an der Stelle z=0 dann [mm]f^{(n)}(0)=-n!a_{-1}+g^{(n)}(0).[/mm]
> >
> > Wenn [mm]a_n[/mm] der n-te Koeffizient der Entwicklung von g an der
> > Stelle z=0 ist, erhält man daraus
> > [mm]\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=-a_{-1}+a_n.[/mm] (2)
>  >  
> > Da [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge sein muss, folgt daraus die
> > Behauptung. (3)
>  >  
> > Fragen:
>  >  
> > In (1) interpretiere ich g als in einer Umgebung um z=1
> > entwickelt. In (2) wird Bezug genommen auf eine Entwicklung
> > von g an der Stelle z=0. Wenn der Konvergenzradius z=0
> > nicht einschließt, was mache ich dann? Oder ist das
> > irrelevant?
>  
>
> Ich würde definieren [mm]g(z):=-\frac{a_{-1}}{z-1}+f(z)[/mm]  (
> wobei [mm]{a_{-1}= res(f;1) )[/mm]
>  
> Dann ist zunächst 1 eine isol. Sing. von g. So wie g aber
> def. ist, ist 1 eine hebbare Sing. von g.
>  
> g ist also auf U holomorph !    (also für |z|<R)
>  >  
> > Wieso ist [mm]a_n[/mm] unweigerlich eine Nullfolge? Liegt das daran,
> > dass die Entwicklung von g bei z=0 den Konvergenzradius R>1
> > hat?
>  
>
> Ja, da g (so wie ich es def. habe) auf U holomorph ist,
> konv. die Potenzreihe von g um 0 auch im Punkt 1. Somit ist
> [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge.
>  
>
>
> Deine Lösung ist in etwa das, was ich mir auch
> zurechtgelegt habe.
>  

FRED, vielen Dank. Weiter so.

LG

gfm

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Knobelaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]