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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 12.06.2005 | | Autor: | Sandra |
Hallo, habe folgende Aufgabe:
[mm] f:\IC \{0\} [/mm] --> [mm] \IC
[/mm]
mit f(z) = 1/z hat in [mm] \infty [/mm] eine hebbare Singularität.
Nun soll das [mm] Res\infty [/mm] (f) berechnet werden.
Die Formel für das Residuum habe ich... jedoch weiß ich nicht, wie ich das hier berechnen soll.
Gruß
Sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 So 12.06.2005 | | Autor: | Sandra |
Sollte heißen:
f: [mm] \IC [/mm] - [mm] \{0\} -->\IC
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 So 12.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Die Irritation hat sich weiter unten im Thread dann zum Glück aufgelöst.
Liebe Sandra!
Ich bin jetzt etwas irritiert. Wenn doch $f$ in [mm] $\infty$ [/mm] eine hebbare Singularität hat (was offenbar der Fall ist), ist dann nicht klar, dass das Residuum [mm] $Res_{\infty}(f)$ [/mm] gleich $0$ ist? Oder sind meine funktionentheoretische Kenntnisse so verschollen, dass ich mich hier irre?
Wie habt ihr denn [mm] $Res_{\infty}(f)$ [/mm] definiert? Doch wohl als [mm] $Res_0(f(1/z))$, [/mm] oder etwa nicht?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 So 12.06.2005 | | Autor: | Sandra |
Es soll wohl sein: Res [mm] \infty [/mm] (1/z) = -1.
Das Ressiduum haben wir definiert als
1 / [mm] (2*\pi [/mm] *i) * [mm] \integral_{|x-z0|}^{} [/mm] {f(x) dx}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 So 12.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandra,
laut Freitag/Busam kann man das Residuum [mm] "$\mathrm{Res} (f;\infty)$" [/mm] definieren als:
[mm] $\mathrm{Res} (f;\infty):=-\mathrm{Res}\left(\bruch{1}{z^2}*f\left(\bruch{1}{z}\right);0 \right)$
[/mm]
Also haben wir hier:
[mm] $\mathrm{Res} \left(\bruch{1}{z};\infty\right)=-\mathrm{Res} \left(\bruch{1}{z^2}*z;0\right)=-\mathrm{Res} \left(\bruch{1}{z};0\right)=-1$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 12.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
Ah, vielen Dank für die Aufklärung, davon habe ich echt noch nie etwas gehört (oder aber vergessen, denn den Freitag/Busahm habe ich eigentlich mal fast komplett gelesen). Ich hätte es intuitiver gefunden, wenn eine Funktion, die in [mm] $\infty$ [/mm] holomorph fortsetzbar wäre, auch das Residuum null hätte.
Aber vermutlich ist es so in der Tat sinnvoller, ich habe mir da gerade eine kleine Intuition entwickelt, muss mir dazu aber noch etwas durchlesen und liefere dann eine Erklärung noch nach. Entschuldige bitte, liebe Sandra, die Verwirrung, die ich gestiftet habe. Es ist wohl doch zu lange her (ca. 5 Jahre), dass ich mich zum letzten Mal ernsthaft mit Funktionentheorie beschäftigt habe...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
Natürlich konnte ich die Definition nicht einfach so hinnehmen, sondern musste mir überlegen, warum man das denn so definiert. Jetzt ist es mir klar, und ich will das natürlich auch mitteilen.
Bleiben wir zunächst einmal in [mm] $\IC$. [/mm] Dann gilt für jede meromorphe Funktion $f$ und jede holomorphe Funktion $g$ mit [mm] $g'(z_0) \ne [/mm] 0$ die folgende Transformationsregel für Residuen:
[mm] $\mbox{Res}_{g(z_0)}(f) [/mm] = [mm] \mbox{Res}_{z_0} [/mm] ((f [mm] \circ [/mm] g)g')$.
Der Beweis dafür ist nahezu trivial: Da $f(z)- [mm] \frac{\mbox{Res}_{g(z_0)}(f)}{z-g(z_0)}$ [/mm] in einer punktierten Umgebung von [mm] $g(z_0)$ [/mm] eine Stammfunktion besitzt, gibt es eine holomorphe Funktion $F$ in dieser punktierten Umgebung mit
$F'(z) = f(z)- [mm] \frac{\mbox{Res}_{g(z_0)}(f)}{z-g(z_0)}$.
[/mm]
Dann gilt in einer punktierten Umgebung von [mm] $z_0$
[/mm]
$(F [mm] \circ [/mm] g)'(z) = F'(g(z)) [mm] \cdot [/mm] g'(z) = f(g(z)) g'(z) - [mm] \mbox{Res}_{g(z_0)}(f) \cdot \frac{g'(z)}{g(z) - z_0}$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\mbox{Res}_{z_0} [/mm] ((f [mm] \circ [/mm] g)g') = [mm] \mbox{Res}_{g(z_0)}(f) \cdot \mbox{Res}_{z_0} \left( \frac{g'(z)}{g(z)-g(z_0)} \right) [/mm] = [mm] \mbox{Res}_{g(z_0)}(f)$
[/mm]
wegen [mm] $g'(z_0) \ne [/mm] 0$.
Wenn wir nun das Residuum an der Stelle [mm] $\infty$ [/mm] betrachten wollen, so sollte es natürlich das Gleiche sein, als wenn wir mit der Karte [mm] $\left(\hat{\IC} \setminus \{0\},\frac{1}{z}, \IC \right)$ [/mm] von einer Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] arbeiten und dann das Residuum mittels der Karte berechnen (also auf etwas Bekanntes zurückführen), dadurch kommt (unter Beachtung der obigen Transformationsregel) die Definition zustande.
Allgemeiner ist klar: Die obige Transformationsregel sorgt dafür, dass man Residuen auf komplexen Mannigfaltigkeiten wie [mm] $\hat{\IC}$ [/mm] überhaupt definieren kann, weil nur dadurch die Definition nicht von der Wahl der Karte abhängt. Wie bei jeder lokalen Eigenschaft einer Mannigfaltigkeit muss man sich das erst sorgsam überlegen. Auf komplexen Mannigfaltigkeiten hat man Differentialformen, und die obige Definition zeigt, dass sich das Residuum nicht ändert, wenn ich mit einer biholomorphen Abbildung die Karte wechsele - das Residuum ist also wohldefiniert.
Es ist peinlich für mich, dass ich auf diese Sache plump "hereingefallen" bin und sozusagen die Kettenregel bei Anwendung der Karte [mm] $\left(\hat{\IC} \setminus \{0\},\frac{1}{z}, \IC \right)$ [/mm] ignoriert habe. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Liebe Grüße
Stefan
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