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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:45 So 02.08.2009 | | Autor: | nono |
| Aufgabe | Hallo Ihr liebe,
bin dabei für mein NumerikKlausur zu lernen und dabei möchte ich gern, dass Jemand mir ein bischen auf die Sprünge helfe und geht um folgende Aufgabe:
Betrachten Sie die Gleichung Au = f mit A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] s.p.d., [mm] d^{(i)} [/mm] =- [mm] \nabla [/mm] J sei die Abstiegsrichtung des Gradientenabstiegsverfahrens (mit J(v) := [mm] \frac{1}{2}v \cdot [/mm] Av - f [mm] \cdot [/mm] v )
Zeigen Sie:
(a) Für das Residuum gilt: Av - f = [mm] \nabla [/mm] J(v) |
Was der Gradientenverfahren ist, weiss ich ja nur hier verstehe ich diese Beweise nicht :
[mm] \nabla J(v)=(\partial J_{1}(v), [/mm] ..., [mm] \partial J_{n}(v))
[/mm]
[mm] \partial J_{k}(v)= \partial_{k}(\bruch{1}{2}\summe_{i,j=1}^{n} A_{ij} v_{i}v_{j} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n}( f_{i}v_{i}))
[/mm]
Bis hier verstehe ich schon,
aber dann ?
[mm] \partial J_{k} =\partial_{k}(\bruch{1}{2}*2 \summe_{1\le i < j \le n}^{n} A_{ij} v_{i}v_{j} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n}( \bruch{1}{2}A_{ii} v^{2}_{ii} [/mm] - [mm] f_{i}v_{i}))) [/mm] wie kommt man auf diese Zeile?
[mm] =\partial_{k}(\summe_{1\lei
= [mm] \summe_{i=1}^{k-1} A_{ik} v_{i}+ \summe_{j=k+1}^{n} A_{kj}v_{j} [/mm] + [mm] A_{kk}v_{k}- f_{k}
[/mm]
= (Av [mm] -f)_{k} [/mm] qed.
Wenn jemand diese Lösung versteht, bitte ich um ein bischen mehr Erklärung
Gibt es eine andere Art diese Beweise zu führen?
Danke für euerr Mühe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nono,
> Hallo Ihr liebe,
>
> bin dabei für mein NumerikKlausur zu lernen und dabei
> möchte ich gern, dass Jemand mir ein bischen auf die
> Sprünge helfe und geht um folgende Aufgabe:
>
> Betrachten Sie die Gleichung Au = f mit A [mm]\in \IR^{nxn}[/mm]
> s.p.d., [mm]d^{(i)}[/mm] =- [mm]\nabla[/mm] J sei die Abstiegsrichtung des
> Gradientenabstiegsverfahrens (mit J(v) := [mm]\frac{1}{2}v \cdot[/mm]
> Av - f [mm]\cdot[/mm] v )
> Zeigen Sie:
> (a) Für das Residuum gilt: Av - f = [mm]\nabla[/mm] J(v)
> Was der Gradientenverfahren ist, weiss ich ja nur hier
> verstehe ich diese Beweise nicht :
>
> [mm]\nabla J(v)=(\partial J_{1}(v),[/mm] ..., [mm]\partial J_{n}(v))[/mm]
>
> [mm]\partial J_{k}(v)= \partial_{k}(\bruch{1}{2}\summe_{i,j=1}^{n} A_{ij} v_{i}v_{j}[/mm]
> - [mm]\summe_{i=1}^{n}( f_{i}v_{i}))[/mm]
> Bis hier verstehe ich
> schon,
>
> aber dann ?
> [mm]\partial J_{k} =\partial_{k}(\bruch{1}{2}*2 \summe_{1\le i < j \le n}^{n} A_{ij} v_{i}v_{j}[/mm]
> + [mm]\summe_{i=1}^{n}( \bruch{1}{2}A_{ii} v^{2}_{ii}[/mm] -
> [mm]f_{i}v_{i})))[/mm] wie kommt man auf diese Zeile?
>
> [mm]=\partial_{k}(\summe_{1\lei
> [mm]\summe_{i=1}^{n}( \bruch{1}{2}A_{ii} v^{2}_{i}[/mm] -
> [mm]f_{i}v_{i}))[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{k-1} A_{ik} v_{i}+ \summe_{j=k+1}^{n} A_{kj}v_{j}[/mm]
> + [mm]A_{kk}v_{k}- f_{k}[/mm]
>
> = (Av [mm]-f)_{k}[/mm] qed.
>
> Wenn jemand diese Lösung versteht, bitte ich um ein
> bischen mehr Erklärung
Betrachte die Abkürzung "s.p.d".
Diese ist offenbar mit "symmetrisch positiv definit" zu übersetzen.
Das erklärt auch dann den weiteren Beweis.
>
> Gibt es eine andere Art diese Beweise zu führen?
>
> Danke für euerr Mühe
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Gruß
MathePower
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