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Residuumbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 So 12.04.2015
Autor: Killuah

Aufgabe 1
Berechne [mm] \integral_{\gamma}{ e^\bruch{-1}{z^2} dz} [/mm] in z=0 mithilfe des Residuensatzes über den geschlossenen Weg [mm] \gamma. [/mm]

Aufgabe 2
Berechne [mm] \integral_{\gamma}{ e^\bruch{-1}{z} dz} [/mm] in z=0 mithilfe des Residuensatzes über den geschlossenen Weg [mm] \gamma. [/mm]

Ich soll bei beiden Aufgaben mit dem Residuensatz das Integral berechnen. Der Weg wurde "zufällig" aufgezeichnet, weswegen ich ihn jetzt hier nicht richtig zeichnen lassen kann. Ich weiß allerdings, dass der Index von [mm] \gamma [/mm] in z=0 jeweils gleich -1 ist.

Nach dem Residuensatz gilt ja nun für die erste Aufgabe:

[mm] \integral_{\gamma}{ e^\bruch{-1}{z^2} dz} [/mm] = 2* [mm] \pi [/mm] * i * [mm] \summe_{j=1}^{n} res_{0}({ e^\bruch{-1}{z^2}}) [/mm] * [mm] ind_{0}(\gamma). [/mm]

Nun zu meinem Problem: Wie berechne ich das Residuum bei solch einer Funktion? Ich habe zwar einige Sätze, aber diese benötigen, dass [mm] z_{0} [/mm] eine Singularität bzw. ein Pol sind.
Ich weiß, dass die Exponentialunktion eine Taylorreihenentwicklung hat. Deswegen würde ich spontan sagen, dass ich mit dieser arbeiten sollte. Allerdings hat diese ja keinen Hauptteil wie in der Laurent-Reihen-Entwicklung, da ja keine Indizes von [mm] -\infty [/mm] bis -1 gehen.


Ich habe schon einmal versucht die Taylorreihendarstellung der Exponentialfunktion "umzumünzen", sodass ich von [mm] -\infty [/mm] bis -1 gehen. Dies sieht dann so aus:

[mm] e^{\bruch{-1}{z^2}} [/mm] = [mm] \summe_{j = -\infty}^{-1} \bruch{1}{-j!} [/mm] * [mm] (\bruch{-1}{z^2})^{-k} [/mm]

Wenn ich nun versuche das Residuum bekommen möchte betrachte ich mir k= -1. Das wäre dann [mm] \bruch{1}{-(-1)!} [/mm] = 1.


Stimmt das oder habe ich gerade einen groben Denkfehler darin?

        
Bezug
Residuumbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 So 12.04.2015
Autor: MathePower

Hallo Killuah,

> Berechne [mm]\integral_{\gamma}{ e^\bruch{-1}{z^2} dz}[/mm] in z=0
> mithilfe des Residuensatzes über den geschlossenen Weg
> [mm]\gamma.[/mm]
>  Berechne [mm]\integral_{\gamma}{ e^\bruch{-1}{z} dz}[/mm] in z=0
> mithilfe des Residuensatzes über den geschlossenen Weg
> [mm]\gamma.[/mm]
>  Ich soll bei beiden Aufgaben mit dem Residuensatz das
> Integral berechnen. Der Weg wurde "zufällig"
> aufgezeichnet, weswegen ich ihn jetzt hier nicht richtig
> zeichnen lassen kann. Ich weiß allerdings, dass der Index
> von [mm]\gamma[/mm] in z=0 jeweils gleich -1 ist.
>  
> Nach dem Residuensatz gilt ja nun für die erste Aufgabe:
>  
> [mm]\integral_{\gamma}{ e^\bruch{-1}{z^2} dz}[/mm] = 2* [mm]\pi[/mm] * i *
> [mm]\summe_{j=1}^{n} res_{0}({ e^\bruch{-1}{z^2}})[/mm] *
> [mm]ind_{0}(\gamma).[/mm]
>  
> Nun zu meinem Problem: Wie berechne ich das Residuum bei
> solch einer Funktion? Ich habe zwar einige Sätze, aber
> diese benötigen, dass [mm]z_{0}[/mm] eine Singularität bzw. ein
> Pol sind.
>  Ich weiß, dass die Exponentialunktion eine
> Taylorreihenentwicklung hat. Deswegen würde ich spontan
> sagen, dass ich mit dieser arbeiten sollte. Allerdings hat
> diese ja keinen Hauptteil wie in der
> Laurent-Reihen-Entwicklung, da ja keine Indizes von [mm]-\infty[/mm]
> bis -1 gehen.
>

>
> Ich habe schon einmal versucht die Taylorreihendarstellung
> der Exponentialfunktion "umzumünzen", sodass ich von
> [mm]-\infty[/mm] bis -1 gehen. Dies sieht dann so aus:
>  


Gute Idee.


> [mm]e^{\bruch{-1}{z^2}}[/mm] = [mm]\summe_{j = -\infty}^{-1} \bruch{1}{-j!}[/mm]
> * [mm](\bruch{-1}{z^2})^{-k}[/mm]

>


Schreibe die erhaltene Laurentreihe ausführlicher hin.

  

> Wenn ich nun versuche das Residuum bekommen möchte
> betrachte ich mir k= -1. Das wäre dann [mm]\bruch{1}{-(-1)!}[/mm] =
> 1.
>  


Nein, das stimmt nicht,
da in der Laurentreihe nur gerade Exponenten auftauchen.


>
> Stimmt das oder habe ich gerade einen groben Denkfehler
> darin?


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Residuumbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 So 12.04.2015
Autor: Killuah

Ich komme jetzt mit meiner Laurent-Reihen-Entwicklung auf (nachdem ich schon zusammengefasst habe):

[mm] e^{\bruch{-1}{z^2} = \summe_{-\infty}^{-1} \bruch{-1}{(-k)!} * (-z)^{2k}. Nun stehe ich aber doch wieder vor dem Problem, dass ich mein Residuum bei dieser Reihe doch immernoch = -1 ist. Nach derselben Argumentation wie oben. Oder gilt nun, dass ich mir \limes_{z \rightarrow 0} \summe_{k = -\infty}^{-1} \bruch{-1}{(-k)!} * (-z)^{2k} betrachten muss und somit auf ein Residuum von 0 komme, da meine Ganze Reihe einfach in z = 0 null wird? }[/mm]

Bezug
                        
Bezug
Residuumbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 So 12.04.2015
Autor: MathePower

Hallo Killuah,

> Ich komme jetzt mit meiner Laurent-Reihen-Entwicklung auf
> (nachdem ich schon zusammengefasst habe):
>  
> [mm]e^{\bruch{-1}{z^2} = \summe_{-\infty}^{-1} \bruch{-1}{(-k)!} * (-z)^{2k}. Nun stehe ich aber doch wieder vor dem Problem, dass ich mein Residuum bei dieser Reihe doch immernoch = -1 ist. Nach derselben Argumentation wie oben. Oder gilt nun, dass ich mir \limes_{z \rightarrow 0} \summe_{k = -\infty}^{-1} \bruch{-1}{(-k)!} * (-z)^{2k} betrachten muss und somit auf ein Residuum von 0 komme, da meine Ganze Reihe einfach in z = 0 null wird?}[/mm]
>  

Das Residuum ist doch das Reihenglied mit dem Index -1.
Da es kein solches Reihenglied gibt, ist das Resiuum null.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
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Residuumbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 So 12.04.2015
Autor: Killuah

Ok. Existiert in diesem Fall einfach kein Reihenglied mit Index -1, weil dort die Reihe einfach "verschwindet" oder weil ich allgemein eine "reine" Taylor-Reihenentwicklung habe. Wenn letzteres der Fall ist:
Ist das Residuum einer Funktion, die ich als "reine" Taylorreihe schreiben kann, also keinerlei Indizes <0) immer = 0?

PS: ich weiß gerade nicht, ob ich diese Frage direkt in einer neuen Frage stellen soll. Aber ich hoffe, dass es hier auch ok ist, da diese Frage sich ja direkt auf deine Antwort bezieht

Bezug
                                        
Bezug
Residuumbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 So 12.04.2015
Autor: MathePower

Hallo Killuah,

> Ok. Existiert in diesem Fall einfach kein Reihenglied mit
> Index -1, weil dort die Reihe einfach "verschwindet" oder
> weil ich allgemein eine "reine" Taylor-Reihenentwicklung
> habe. Wenn letzteres der Fall ist:
>  Ist das Residuum einer Funktion, die ich als "reine"
> Taylorreihe schreiben kann, also keinerlei Indizes <0)
> immer = 0?
>  


Es existiert kein Reihenglied mit dem Index.-1.

Die Laurentreihe ist in der Form

[mm]\summe_{k=-\infty}^{\infty}{a_{k}*\left(z-z_{0}\right)^{k}[/mm]

zu schreiben.

Gibt es hier keinen Exponenten -1, so ist das Residuum [mm]a_{-1}=0[/mm].



> PS: ich weiß gerade nicht, ob ich diese Frage direkt in
> einer neuen Frage stellen soll. Aber ich hoffe, dass es
> hier auch ok ist, da diese Frage sich ja direkt auf deine
> Antwort bezieht


Das ist ok.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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Residuumbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 So 12.04.2015
Autor: Killuah

Vielen vielen Dank schonmal dafür. In diesem Fall habe ich verstanden warum das Residuum = 0 ist.

Nun zu der zweiten Aufgabe:

Ich habe auch dort die Reihe umgeschrieben und komme jetzt nach umformen und so weiter auf:

[mm] e^{\bruch{-1}{z}} [/mm] = [mm] \summe_{k = -\infty}^{-1} \bruch{1}{-k!} [/mm] * [mm] (-z)^k [/mm]

Hier habe ich aber ein -1 tes Reihenglied. Der Koeffizient wäre hier nun
[mm] \bruch{1}{-1!} [/mm] = -1. Stimmt das oder nicht? Bzw. muss ich dann aufpassen, dass die Reihe eigentlich für k = -1 und z gegen 0 gegen unendlich strebt?

Falls das Residuum = -1 ist habe ich alles verstanden und die Frage kann geschlossen werden =)

Bezug
                                                        
Bezug
Residuumbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 12.04.2015
Autor: MathePower

Hallo Killuah,

> Vielen vielen Dank schonmal dafür. In diesem Fall habe ich
> verstanden warum das Residuum = 0 ist.
>  
> Nun zu der zweiten Aufgabe:
>  
> Ich habe auch dort die Reihe umgeschrieben und komme jetzt
> nach umformen und so weiter auf:
>  
> [mm]e^{\bruch{-1}{z}}[/mm] = [mm]\summe_{k = -\infty}^{-1} \bruch{1}{-k!}[/mm]
> * [mm](-z)^k[/mm]
>  
> Hier habe ich aber ein -1 tes Reihenglied. Der Koeffizient
> wäre hier nun
> [mm]\bruch{1}{-1!}[/mm] = -1. Stimmt das oder nicht? Bzw. muss ich
> dann aufpassen, dass die Reihe eigentlich für k = -1 und z
> gegen 0 gegen unendlich strebt?
>  

Nein.


> Falls das Residuum = -1 ist habe ich alles verstanden und
> die Frage kann geschlossen werden =)


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

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