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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:50 Do 06.11.2008 | | Autor: | Janine1506 |
| Aufgabe | (a) Finde sie ein Element n [mm] \in \IZ [/mm] mit n quer * [mm] \bar2 [/mm] = [mm] \bar1 [/mm] in [mm] \IZ [/mm] / 11 [mm] \IZ.
[/mm]
(b) Berechnen Sie [mm] \bar4 [/mm] ^301 in [mm] \IZ [/mm] / 17 [mm] \IZ
[/mm]
(c) Zeigen Sie: Für jede ganze Zahl n gilt [mm] \bar n^3 [/mm] + [mm] \bar2 [/mm] * n quer = [mm] \bar0 [/mm] in [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ
[/mm]
(d) Zeigen Sie: Für alle x,y [mm] \in \IZ [/mm] gilt [mm] \bar x^2 [/mm] + [mm] \bar y^2 [/mm] = [mm] (\bar [/mm] x + [mm] \bar y)^2 [/mm] in [mm] \IZ [/mm] /2 [mm] \IZ
[/mm]
(e) Zeigen Sie: Für alle x,y [mm] \in \IZ [/mm] gilt [mm] \bar x^3 [/mm] + [mm] \bar y^3 [/mm] = ( [mm] \bar [/mm] x + [mm] \bar y)^3 [/mm] in [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] |
Kann mir jemand weiter helfen. ich habe keinen Ansatz wie ich diese Aussagen beweisen bzw berechnen soll.
Bitte eine ausführlichen Beschreibung,damit es auf Leute,wie ich verstehen...Meine Vorlagen helfen mir nicht weiter.
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> (a) Finde sie ein Element n [mm]\in \IZ[/mm] mit n quer * [mm]\bar2[/mm] =
> [mm]\bar1[/mm] in [mm]\IZ[/mm] / 11 [mm]\IZ.[/mm]
> (b) Berechnen Sie [mm]\bar4[/mm] ^301 in [mm]\IZ[/mm] / 17 [mm]\IZ[/mm]
> (c) Zeigen Sie: Für jede ganze Zahl n gilt [mm]\bar n^3[/mm] +
> [mm]\bar2[/mm] * n quer = [mm]\bar0[/mm] in [mm]\IZ[/mm] / 3 [mm]\IZ[/mm]
> (d) Zeigen Sie: Für alle x,y [mm]\in \IZ[/mm] gilt [mm]\bar x^2[/mm] + [mm]\bar y^2[/mm]
> = [mm](\bar[/mm] x + [mm]\bar y)^2[/mm] in [mm]\IZ[/mm] /2 [mm]\IZ[/mm]
> (e) Zeigen Sie: Für alle x,y [mm]\in \IZ[/mm] gilt [mm]\bar x^3[/mm] + [mm]\bar y^3[/mm]
> = ( [mm]\bar[/mm] x + [mm]\bar y)^3[/mm] in [mm]\IZ[/mm] / 3 [mm]\IZ[/mm]
> Kann mir jemand weiter helfen. ich habe keinen Ansatz wie
> ich diese Aussagen beweisen bzw berechnen soll.
> Bitte eine ausführlichen Beschreibung,damit es auf
> Leute,wie ich verstehen...Meine Vorlagen helfen mir nicht
> weiter.
Hallo,
ich vermisse eine ausführliche Beschreibung der Gründe, warum Du keinen Ansatz hast.
Hast Du denn die Restklassen verstanden? Weißt Du wie man damit rechnet?
Z.B. in [mm]\IZ[/mm] / 11 [mm]\IZ.[/mm]:
was ist [mm] \overline{5}+\overline{9}, [/mm] und was ergibt [mm] \overline{4}*\overline{5}.
[/mm]
Welches ist in [mm]\IZ[/mm] / 11 [mm]\IZ.[/mm] das neutrale Element der Addition, welches ist das Inverse zu [mm] \overline{4} [/mm] bzgl der Addition?
Bei Aufgabe a) mußt Du Element suchen, welches mit [mm] \overline{2} [/mm] multipliziert [mm] \overline{1} [/mm] ergibt. In [mm]\IZ[/mm] / 11 [mm]\IZ.[/mm] sind ja nicht so viele Elemente, von daher hält sich der Aufwand beim Durchprobieren doch sehr in Grenzen.
Gruß v. Angela
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Nein ich habe nicht verstanden was Restklassen sind und kann somit auch n icht sagen, wass [mm] \bar4 [/mm] + [mm] \bar5 [/mm] sind oder [mm] \bar4 [/mm] * [mm] \bar5.
[/mm]
ich brauch unbedingt Hilfe!
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> Nein ich habe nicht verstanden was Restklassen sind
Hallo,
na, da hatte ich doch den richtigen Riecher...
Dann hättest Du vielleicht lieber diese Frage posten sollen statt eines Straußes von Aufgaben.
Poste mal, wie Ihr die Restklassen definiert habt und die Multiplikation und Addition von Restklassen.
Dann können wir das genauer unter die Lupe nehmen.
Gruß v. Angela
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Wir haben Restklassenringe definiert durch:
Sei M eine natürliche Zahl. Betrachte die Menge aller Reste bei der Division durch m: [mm] \IZ [/mm] | [mm] m\IZ [/mm] = { [mm] \bar0, \bar1, \bar2, \bar3, [/mm] ... [mm] \barm [/mm] -1 }
Addition:Seien a quer und b quer [mm] \in \IZ [/mm] | [mm] m\IZ, [/mm] dann nehme man 2 Zahlen a und b,die gerade die entsprechenden Reste bei Division durch m ergeben, addiere diese Zahlen [mm] a_1 [/mm] + [mm] b_1, [/mm] bilde davon den Restmodulo m: def:a quer + b quer = [mm] \bar a_1 [/mm] + [mm] b_1
[/mm]
Multiplikation:
Analog zur Addition: a quer und b quer nimm [mm] a_1 [/mm] mit [mm] \bar a_1 [/mm] = a quer und nimm [mm] b_1 [/mm] mit [mm] \bar b_1 [/mm] = b quer und definiere a quer * b quer = [mm] \bar a_1* b_1
[/mm]
Dann gilt: [mm] \IZ [/mm] | m [mm] \IZ [/mm] , + , * ) ist ein kommutativer Ring mit 1.
Das ist die Definition,die wir haben. Für a,b mit dem Strich drüber habe ich jetzt einfach mal a, b quer geschrieben.
Gruß v. Janine
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> Wir haben Restklassenringe definiert durch:
> Sei m eine natürliche Zahl. Betrachte die Menge aller
> Reste bei der Division durch m: [mm]\IZ[/mm] | [mm]m\IZ[/mm] = { [mm] \bar0, \bar1, \bar2, \bar3, [/mm] ... overline{ m-1} }
Hallo,
jede ganze Zahl z läßt bei der Division durch m den Rest 0,1,2, ..., m-1.
Man teilt nun die ganzen Zahlen in Restklassen mod m ein. In diesen Restklassen stecken all die ganzen Zahlen, die bei der Division den entsprechenden Rest lassen.
Beispiel m=5.
Es können die Reste 0,1,2,3,4 vorkommen.
In der Restklasse [mm] \bar0 [/mm] sind alle ganzen Zahlen, die denselben Rest wie 0 lassen, also ist
[mm] \bar0=\{ ..., -15,-10, -5, 0, 5, 10, 15 ... }=\{ z\in \IZ | es gibt ein k\in \IZ mit z=5*k\}
[/mm]
In der Restklasse [mm] \bar1 [/mm] sind alle ganzen Zahlen, die denselben Rest wie 1 lassen, also ist
[mm] \bar1=\{ ..., -14,-9, -4, 1, 6, 11, 16 ... }=\{ z\in \IZ | es gibt ein k\in \IZ mit z=5*k\}
[/mm]
In der Restklasse [mm] \bar2 [/mm] sind alle ganzen Zahlen, die denselben Rest wie 2 lassen, also ist
[mm] \bar0=\{ ..., -13,-8, -3, 2, 7, 12, 17 ... }=\{ z\in \IZ | es gibt ein k\in \IZ mit z=5*k\}
[/mm]
Die anderen beiden Restklassen kannst du selbst aufschreiben.
Jede ganze Zahl gehört in irgendeine der 5 Restklassen mod 5..
Es ist [mm] \overline{17}=\overline{2}=\overline\{-8}, [/mm] denn alle drei Zahlen lassen bei Div. durch 5 den Rest 2.
>
> Addition:Seien a quer und b quer [mm]\in \IZ[/mm] | [mm]m\IZ,[/mm] dann nehme
> man 2 Zahlen a und b,die gerade die entsprechenden Reste
> bei Division durch m ergeben, addiere diese Zahlen [mm]a_1[/mm] +
> [mm]b_1,[/mm] bilde davon den Restmodulo m: def:a quer + b quer =
> [mm]\bar a_1[/mm] + [mm]b_1[/mm]
Zu unserem Beispiel: [mm] \overline{4}+\overline{3}=\overline{7}=\overline{2}
[/mm]
>
> Multiplikation:
> Analog zur Addition: a quer und b quer nimm [mm]a_1[/mm] mit [mm]\bar a_1[/mm]
> = a quer und nimm [mm]b_1[/mm] mit [mm]\bar b_1[/mm] = b quer und definiere
> a quer * b quer = [mm]\bar a_1* b_1[/mm]
> Dann gilt: [mm]\IZ[/mm] | m [mm]\IZ[/mm] , +
> , * ) ist ein kommutativer Ring mit 1.
Beispiel: [mm] \overline{4}*\overline{3}=\overline{4*3}=\overline{12}=\overline{2}.
[/mm]
Du könntest jetzt mal für das besprochene Beispiel [mm] \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ [/mm] die Verknüpfungdtafeln für + und [mm] \* [/mm] aufstellen.
Wenn Du das hast, schau nach, für welches [mm] \overline{x} [/mm] gilt [mm] \overline{3}*\overline{x}=\overline{1}.
[/mm]
Wenn Dir das gelungen ist, kannst Du Dich über Aufgabe a) hermachen. Hier ist dann mod 11 zu rechnen.
Gruß v. Angela
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