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Hallo,
ich möchte das Restglied der Taylorreihe von [mm] e^x [/mm] bestimmen.
Erst einmal eine grundsätzliche Frage: Ob ich die Cauchysche oder die Lagrangesche Form des Restgliedes nehme ist doch egal, oder nicht?
Bei der Cauchyschen Form habe ich:
Der Entwicklungspunkt ist [mm] x_{0}=0
[/mm]
[mm] \gamma \in [/mm] (0,1)
[mm] R_{n}(x,x_{0})=\bruch{f^{(n+1)}(x_{0}+\gamma(x-x_{0}))}{n!}(1-\gamma)^n(x-x_{0})^{n+1}=\bruch{f^{(n+1)}(\gamma*x)}{n!}(1-\gamma)^n*x^{n+1}=\bruch{e^{(\gamma*x)}}{n!}(1-\gamma)^n*x^{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |R_{n}(x,x_{0})|= \bruch{e^{(\gamma*x)}}{n!}(1-\gamma)^n*|x^{n+1}| \le \bruch{e^{(\gamma*x)}}{n!}*|x^{n+1}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{(\gamma*x)}}{n!}*|x^{n+1}|=e^{(\gamma*x)}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|x^{n+1}|}{n!}
[/mm]
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich den Grenzwert berechnen kann. Ich weiß, dass 0 rauskommen muss. Die Formel von Stirling hatten wir auch, nur weiss ich nicht, wie ich die anwenden kann.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich möchte das Restglied der Taylorreihe von [mm]e^x[/mm]
> bestimmen.
> Erst einmal eine grundsätzliche Frage: Ob ich die
> Cauchysche oder die Lagrangesche Form des Restgliedes nehme
> ist doch egal, oder nicht?
>
> Bei der Cauchyschen Form habe ich:
> Der Entwicklungspunkt ist [mm]x_{0}=0[/mm]
> [mm]\gamma \in[/mm] (0,1)
>
> [mm]R_{n}(x,x_{0})=\bruch{f^{(n+1)}(x_{0}+\gamma(x-x_{0}))}{n!}(1-\gamma)^n(x-x_{0})^{n+1}=\bruch{f^{(n+1)}(\gamma*x)}{n!}(1-\gamma)^n*x^{n+1}=\bruch{e^{(\gamma*x)}}{n!}(1-\gamma)^n*x^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |R_{n}(x,x_{0})|= \bruch{e^{(\gamma*x)}}{n!}(1-\gamma)^n*|x^{n+1}| \le \bruch{e^{(\gamma*x)}}{n!}*|x^{n+1}|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{(\gamma*x)}}{n!}*|x^{n+1}|=e^{(\gamma*x)}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|x^{n+1}|}{n!}[/mm]
>
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich den
> Grenzwert berechnen kann. Ich weiß, dass 0 rauskommen
> muss. Die Formel von Stirling hatten wir auch, nur weiss
> ich nicht, wie ich die anwenden kann.
Augen aufmachen ! Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] ist bekanntlich konvergent, also ist die Folge [mm] (\bruch{x^n}{n!} [/mm] ) eine ????? - Folge.
jetzt machen wirs wie bei Günther Jauch: was muß für ???? stehen:
A: Null B: Ab
C: Fernseh D: divergente
FRED
>
> Gruß
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Hi fred97,
Die Reihe ist die Taylorreihe von [mm] e^x, [/mm] die konvergiert, weshalb die Folge eine Nullfolge ist.
Aber es ist doch nur die Taylorreihe, falls das Restglied gegen 0 konvergiert. Wäre der Beweis denn so in Ordnung, wenn ich sage, dass das die Taylorreihe ist, obwohl ich dies ja bei der Restgliedabschätzung beweisen möchte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Di 20.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie ist denn [mm] e^x [/mm] bei dem Beweis definiert?
für mich ist die Cauchyformel (wie in wiki:
[mm] R_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n}(x-a) [/mm]
mmit [mm] \xi [/mm] zwischen 0 und x
dann musst du die Konvergenz für ein festes x=a zeigen, denn die Konvergenz hängt ja von x ab.
dein [mm] \gamma*x [/mm] ist wohl mein [mm] \xi? [/mm]
Gruss leduart
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Hi,
ich habe das [mm] \xi [/mm] im Formeleditor nicht gesehen. Also das [mm] \gamma [/mm] ist in meiner Formel das [mm] \xi. [/mm] Die Formel haben wir in der Vorlesung bekommen.
Mir geht es ja jetzt darum, den letzten Grenzwert zu bilden, um zu sehen, ob der Grenzwert wirklich 0 ist.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Di 20.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1:dein [mm] \gamma [/mm] kann nicht mein [mm] \xi [/mm] sein, sondern dein [mm] \gamma*x
[/mm]
2. benutze doch die Stirlingformel für ein festes x=a dann sieht man direkt die Konvergenz
Gruss leduart
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