Restglied bei Taylorreihenentwicklung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich bin neu hier und habe gleich mal eine Frage. Da ich zum Wintersemester ein Physikstudium beginnen möchte, beschäftige ich mich jetzt schon mit manchen, in der Oberstufe vernachlässigten, Aspekten der Mathematik. Momentan bin ich gerade dabei, anhand eines - meiner bescheidenen Meinung nach - sehr bescheidenen Skriptes, die Taylorreihenentwicklung zu verstehen, was mir bisher recht gut gelungen ist.
Vor kurzem habe ich einen Beweis für die Richtigkeit der Taylorformel nachvollzogen. In diesem Beweis gehört zur Taylorformel ein Restglied
[mm] R_n= \bruch{1}{n!}*\integral_{a}^{x} f^{n+1}(t)*(x-t)^n\, [/mm] dt
welches das bisherige Skript ignoriert oder nicht kennt. Ohne dieses Restglied kann die Gültigkeit der Taylorformel offensichtlich nicht bewiesen werden bzw. sie ist grundlegend falsch, da der Fehler nicht abgeschätzt werden kann.
Meine bisherige Recherche bei Google hat ergeben, dass das Restglied in zwei verschiedenen Formen dargestellt werden kann:
a) Nach Langrange
b) Als Integral
Für beide finde ich keine verständliche Herleitung, sondern lediglich die 'fertige' Formel.
Meine Frage ist nun:
Wie kann ich das Restglied in Integralsdarstellung herleiten?
Danke für Hilfe jedweder Art.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo Integralswaechter,
Start ist
[mm]f(x)=f(a) + \int_{a}^{x} f'(t)\, dt [/mm]
danach partiell integrieren. wenn Du das für alle n zeigen willst, kannst Du einen Induktionsbeweis machen.
gruß
mathemaduenn
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Hallo, mathemaduenn.
Ich glaube, wir reden irgendwie aneinander vorbei.
$ f(x)=f(a) + [mm] \int_{a}^{x} f'(t)\, [/mm] dt $
Ist der Ansatz für den Beweis der gesamten Taylorreihe und ergibt sich für n=0 in
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n} f^{k}(a)/k!*(x-a)^k+R_n
[/mm]
[mm] \gdw f(x)=f^{0}(a)/0!*(x-a)^0+R_0
[/mm]
[mm] \gdw f(x)=f(a)+R_0
[/mm]
[mm] R_0 [/mm] ist hierin aber schon gegeben mit
[mm] R_n=1/n!*\integral_{a}^{x} f^{n+1}(t)*(x-t)^n\, [/mm] dt
[mm] \gdw R_0=1/0!*\integral_{a}^{x} f^{0+1}(t)*(x-t)^0\, [/mm] dt
[mm] \gdw R_0=\integral_{a}^{x} f'(t)\, [/mm] dt
Somit ergibt sich der Ansatz
[mm] f(x)=f(a)+R_0
[/mm]
[mm] \gdw f(x)=f(a)+\integral_{a}^{x} f'(t)\, [/mm] dt
als Induktionsverankerung für n=0.
Trotzdem ist in der Ausgangsformel
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n} f^{k}(a)/k!*(x-a)^k+R_n
[/mm]
das Restglied [mm] R_n [/mm] schon enthalten.
Gerade dieses Restglied will ich aber erst herleiten, bevor ich die Richtigkeit für n beweisen kann.
Ein möglicher Ansatz wäre:
Die Taylorreihe einer Funktion f(x) und die Funktion selbst weichen um den Wert des Restglieds [mm] R_n [/mm] voneinander ab. Also kann man schreiben:
[mm] R_n=f(x)-\summe_{k=0}^{n} f^{k}(a)/k!*(x-a)^k.
[/mm]
Die Frage ist jetzt: Wie rechnet man dann weiter?
Gruß
Daniel
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Hallo Daniel,
Induktionsanfang ist gemacht
[mm]f(x)=f(a) + \int_{a}^{x} f'(t)\, dt[/mm]
Oder ist unklar ob dies gilt??
Induktionsschritt:
nimm an es gilt
[mm]f(x)=\summe_{k=0}^{n} f^{(k)}(a)/k!*(x-a)^k+R_n[/mm]
und zeige das daraus folgt
[mm]f(x)=\summe_{k=0}^{n+1} f^{(k)}(a)/(k)!*(x-a)^k+R_{(n+1)}[/mm]
Dies kann man zeigen indem man [mm] R_n [/mm] einmal partiell integriert.
Daraus folgt dann die Gültigkeit für alle n.
gruß
mathemaduenn
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Hallo, mathemaduenn.
Ich mache jetzt nicht viele Worte, sondern versuche, das Problem ganz kurz darzustellen.
Den Induktionsbeweis habe ich durchgeführt und meine Frage bezieht sich ursprünglich nicht auf diesen.
In dem Skript, durch das ich überhaupt erst auf die Taylorreihenentwicklung gekommen bin, steht die Taylorreihe nur OHNE das Restglied [mm] R_n:
[/mm]
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n} f^k(x_0)/k!*(x-x_0)^k
[/mm]
In dem Beweis (anderer Autor) taucht aber das Restglied [mm] R_n [/mm] auf. Ohne das Restglied kann der Beweis nicht geführt werden.
Mein Frage ist: Wie kann ich aus der Taylorreihe OHNE Restglied
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n} f^k(x_0)/k!*(x-x_0)^k
[/mm]
auf das Restglied schließen bzw. die Integralsform des Restglieds herleiten?
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Hallo Daniel,
dann war das Skript an dieser Stelle halt etwas ungenau. Wahrscheinlich war es die Intention des Skriptschreibers die Leser nicht zu sehr zu verwirren. Wenn dem so war ist's daneben gegangen.
Wieso willst Du etwas Bewiesenes nochmal beweisen?
Der Ansatz könnte aber derselbe sein zunächst [mm] f(a)+R_0 [/mm] dann partiell integrieren. aber um vollständige Induktion kommst Du imho nicht herum.
gruß
mathemaduenn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Fr 30.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
in meinem Buch habe ich im Beweis der Taylorschen Formel für die Herleitung des Restgliedes in der Integraldarstellung den Hinweis auf ein anderes Buch gefunden (welches ich leider nicht habe):
Barner/Flohr: Analysis I, Seite 375
Es kann aber sein, dass du dort auch wieder nur den Induktionsbeweis findest. Das ist halt der klassische Beweis für die Formel, die sich wohl mal ein schlauer Kopf ausgedacht hat.
(Wenn du z.B. für eine Zahlenfolge nur eine rekursive Darstellung hast, dann "rät" man häufig auch eine explizite Darstellung und beweist sie dann mit Induktion.)
Viele Grüße
Astrid
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Hallo.
Erst mal danke für alle Antworten.
Ich denke mal, ich sollte die gesamte Diskussion an dieser Stelle beenden, da ich mich zunächst mal damit abgefunden habe, dass es das Restglied halt gibt. Wieso weiß keiner so ganz genau und bewiesen habe ich es, wozu sich also noch Gedanken machen(?)
Gruß
Integralswaechter
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